Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan satu variabel yang dipangkatkan dua. Jika persamaan memuat variabel dengan pangkat lebih tinggi daripada dua, persamaan itu bukan lagi persamaan kuadrat.

Bentuk persamaan kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Nilai a, b, c adalah bilangan real, dan a tidak sama dengan nol. Istilah lainnya:

• ax² disebut suku berderajat dua (suku kuadrat),
• bx disebut suku berderajat satu (suku linear),
• c disebut konstanta.

Setiap persamaan kuadrat dapat diubah ke bentuk umum dengan operasi ekuivalen atau dengan cara penyederhanaan lain. Contoh persamaan kuadrat adalah persamaan berikut:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Pertanyaan yang lebih sulit: apakah persamaan ini juga persamaan kuadrat?

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Tidak terlihat x² di mana pun, dan ruas kanannya bukan nol. Ruas kanan mudah diatasi: kedua ruas kita kurangi tujuh, sehingga diperoleh bentuk

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Kita masih belum melihat x². Kita jabarkan tanda kurungnya dan diperoleh:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Sekarang x² sudah muncul. Setelah suku-sukunya dijumlahkan, akhirnya diperoleh bentuk umum persamaan kuadrat:

$$x^2+3x-5=0.$$

Bagaimana dengan contoh berikut? Apakah ini persamaan kuadrat? Dapatkah persamaan ini diubah ke bentuk umum?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Jawabannya: tidak bisa. Jika seluruh persamaan kita kalikan dengan variabel x untuk menghilangkan variabel di penyebut pecahan, diperoleh:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Sekarang muncul x³, dan suku seperti itu tidak boleh ada dalam persamaan kuadrat.

Ada beberapa jenis khusus persamaan kuadrat, bergantung pada nilai koefisien a, b, dan c.

Nilai koefisien

Untuk bagian-bagian selanjutnya, sangat penting bahwa kamu bisa menentukan setiap koefisien a, b, dan c. Kita mulai dengan contoh sederhana. Tentukan koefisien persamaan 3x² + 4x + 7 = 0. Di sini mudah: a = 3, b = 4, dan c = 7.

Bagaimana dengan persamaan 3x² − x + 2 = 0? Nilai a dan c jelas, yaitu a = 3 dan c = 2. Namun, berapa b? Salah jika kita menulis b = 1. Bayangkan di depan x ada angka satu seperti ini: 3x² − 1x + 2 = 0. Sekarang lebih mudah terlihat bahwa b = −1.

Contoh menarik lainnya: x² − 3 = 0. Di sini koefisien b juga bisa membingungkan, sedangkan koefisien lainnya jelas: a = 1 dan c = −3. Berapa nilai koefisien b? Suku berderajat satu sama sekali tidak muncul dalam persamaan ini. Sama saja jika persamaan itu kita tulis dalam bentuk x² + 0x − 3 = 0. Jadi, b = 0.

Contoh yang lebih rumit:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

Persamaan ini punya dua jebakan. Tidak ada konstanta, sehingga c = 0. Suku berderajat dua jelas, sehingga a = 5. Lalu, bagaimana dengan b yang merepotkan ini? Persamaan masih bisa kita ubah sedikit: variabel x kita keluarkan sebagai faktor persekutuan dari kedua suku seperti ini:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

Koefisien b adalah bagian yang berada “di depan” variabel x, sehingga seluruh isi tanda kurung adalah koefisien b = (3 + π). Persamaan serupa:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Dua koefisien pertama jelas: a = −1 dan b = 4. Berapa konstantanya? Konstanta adalah bentuk-bentuk sisanya yang tidak memuat x. Jadi, $c=1-\sqrt{2}$. Jangan takut pada bentuk akar, bentuk itu tidak menggigit, hanya bilangan biasa.

Berapa nilai koefisien pada persamaan berikut? (x + 1)(x + 2) = −2x. Pertama, persamaan harus kita ubah ke bentuk umum. Kita jabarkan tanda kurungnya dan diperoleh

$$x^2+3x+2=-2x$$

Terakhir, kedua ruas kita tambah 2x agar ruas kanan menjadi nol:

$$x^2+5x+2=0.$$

Nilai-nilainya sekarang jelas: a = 1, b = 5, c = 2.

Persamaan kuadrat murni (b = 0)

Jika b = 0, persamaan itu disebut persamaan kuadrat murni. Persamaan ini diselesaikan dengan cara yang mirip dengan persamaan linear. Bentuk umumnya adalah:

$$a{x}^2+c=0$$

Karena b = 0, seluruh suku berderajat satu bx hilang dari persamaan, sebab 0x = 0. Persamaan ini kita selesaikan dengan lebih dulu mengurangkan konstanta. Jadi, kedua ruas persamaan kita kurangi c (ditulis /−c). Diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+c& =& 0/-c\\ a{x}^2& =& -c\end{array}$$

Selanjutnya, kedua ruas kita bagi dengan bilangan a. Diperoleh bentuk:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Terakhir, kita tarik akar kuadrat kedua ruas. Pecahan di ruas kanan tidak boleh negatif, karena akar kuadrat bilangan negatif tidak dapat dihitung. Diperoleh hasil:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Perhatikan bahwa kita memperoleh dua hasil, satu positif dan satu negatif. Hal ini akan lebih jelas pada contoh. Kita selesaikan persamaan

$$2x^2-8=0.$$

Sesuai langkah-langkahnya, pertama kita kurangkan suku c. Perhatikan bahwa di sini suku c negatif, sehingga kita mengurangkan bilangan negatif, atau dengan kata lain menambahkan bilangan positif. Jadi, kedua ruas kita tambah +8 (tujuannya memindahkan 8 ke ruas kanan). Diperoleh bentuk:

$$2x^2=8$$

Selanjutnya, sesuai langkah-langkahnya, kedua ruas kita bagi dengan bilangan a, yaitu 2. Setelah dibagi, diperoleh bentuk:

$$x^2=4$$

Sekarang kita tarik akarnya.

$$x_1=2,x_2=-2$$

Mengapa minus dua juga termasuk? Karena minus dua kali minus dua sama dengan empat. Kita juga bisa melihat penyelesaian grafisnya: grafik fungsi 2x² − 8 memotong sumbu x tepat di titik x₁ = −2 dan x₂ = 2.

Selesaikan persamaan

$$80x^2-5=0.$$

Kedua ruas kita tambah lima:

$$80x^2=5$$

Kita bagi dengan 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Kita sederhanakan pecahannya:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Kita tarik akarnya:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Persamaan kuadrat tanpa konstanta (c = 0)

Kasus khusus lain terjadi jika konstanta c sama dengan nol. Bentuk umum persamaannya adalah:

$$a{x}^2+bx=0$$

Persamaan jenis ini diselesaikan dengan mengeluarkan variabel sebagai faktor persekutuan:

$$x(ax+b)=0.$$

Di sini hasilnya sudah cukup jelas. Lagi-lagi diperoleh dua akar persamaan, tetapi salah satunya selalu nol. Seluruh ruas kiri berbentuk hasil kali dua bentuk: x dan tanda kurung (ax + b). Kapan hasil kali ini sama dengan nol? Jika paling sedikit salah satu bentuk itu sama dengan nol. Jadi, ruas kiri sama dengan nol dalam dua kasus:

$$x=0\text{atau}ax+b=0.$$

Hasil pertama sudah kita peroleh, yaitu nol. Hasil lainnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linear ax + b = 0. Dari artikel tentang persamaan linear kita tahu bahwa persamaan ini mempunyai tepat satu penyelesaian, yaitu:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Jadi, sekarang kita bisa menuliskan penyelesaian seluruh persamaan kuadrat ax² + bx = 0:

$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$$

Contoh:

$$6x^2+3x=0$$

Kita keluarkan x sebagai faktor:

$$x(6x+3)=0$$

Penyelesaian pertama adalah x = 0. Penyelesaian kedua kita peroleh dengan menyelesaikan persamaan linear 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Kita tuliskan hasilnya:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Sekali lagi kita bisa melihat grafik fungsinya, yang memotong sumbu x tepat di titik-titik ini:

Cara penyelesaian lainnya

Inilah teknik-teknik dasar untuk jenis-jenis khusus persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat bentuk umum diselesaikan dengan diskriminan. Jenis persamaan lainnya antara lain persamaan kuadrat dengan parameter.

Kalkulator

Masukkan koefisien a, b, dan c dari persamaan umum ax² + bx + c = 0, dan kalkulator akan menghitung diskriminan serta akar-akarnya. Kalkulator ini juga tersedia tersendiri sebagai kalkulator persamaan kuadrat.