Himpunan

Himpunan dapat dipahami sebagai kumpulan anggota. Setiap himpunan memuat sejumlah anggota, dan banyaknya bisa berhingga atau tak hingga. Himpunan juga boleh tidak mempunyai anggota sama sekali. Himpunan seperti itu disebut himpunan kosong. Himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya M, sedangkan anggotanya dengan huruf kecil, misalnya m.

Apa itu himpunan

Himpunan adalah salah satu konsep dasar matematika. Banyak hal lain didefinisikan dengan himpunan, jadi sebaiknya sejak awal kamu memahami apa itu himpunan agar tidak bingung ketika belajar lebih lanjut.

Jadi, himpunan adalah kumpulan anggota apa saja. Dalam matematika, kita paling sering bekerja dengan himpunan bilangan, yaitu himpunan yang anggotanya bilangan. Penulisan himpunan yang lazim dalam matematika seperti ini:

$$M=\{1,2,3\}$$

Dengan begitu, kita telah menuliskan himpunan bernama “M” yang mempunyai tiga anggota: 1, 2, dan 3. Himpunan selalu ditulis di dalam kurung kurawal. Hampir setiap kali kamu melihat kurung kurawal, yang dimaksud adalah suatu himpunan.

Untuk apa himpunan dipakai? Himpunan sering menentukan anggota mana yang boleh kita pilih. Misalnya, dalam kehidupan sehari-hari kamu mungkin berkata, “Siti, kita main tebak-tebakan, yuk? Pikirkan satu angka dari 1 sampai 5.” Dengan kalimat itu, kamu membatasi bilangan yang boleh dipilih Siti. Dalam matematika, untuk keperluan ini kamu akan memakai himpunan:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Lalu kamu bisa berkata kepada Siti, “Siti, kita main tebak-tebakan, yuk? Pikirkan satu bilangan yang menjadi anggota himpunan L.” Permainannya pasti langsung jadi lebih seru. Dalam matematika, untuk menyatakan bahwa suatu anggota termasuk dalam himpunan, kita memakai lambang ∈, dan jika tidak termasuk, kita memakai ∉. Jadi, jika ingin menyatakan bahwa 1 anggota himpunan L, tetapi 7 bukan, kita menuliskannya seperti ini: 1 ∈ L dan 7 ∉ L.

Tentu saja himpunan bisa kosong. Untuk itu dipakai penulisan P = {} atau lebih sederhana P = ∅. Perhatikan bahwa kedua penulisan ini berarti “himpunan kosong”. Jika kamu menulis P = {∅}, yang kamu tuliskan adalah himpunan yang memuat himpunan kosong. Himpunan ini tidak sama dengan himpunan kosong.

Urutan dan anggota ganda

Anggota-anggota suatu himpunan tidak mempunyai urutan tertentu. Himpunan memuat kumpulan anggota yang tidak berurutan. Jika kita mempunyai dua himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1}, kita katakan bahwa keduanya sama. Urutan anggota dalam himpunan tidak berpengaruh.

Demikian pula, anggota yang ditulis lebih dari sekali tidak diperhitungkan. Jika suatu himpunan memuat beberapa anggota yang sama (beberapa bilangan yang sama), setiap anggota tersebut hanya dihitung satu kali. Misalnya, dua himpunan A = {1, 1, 2, 2, 2} dan B = {2, 1} kita anggap sama. Tidak masalah bahwa himpunan A seolah-olah memuat “lebih banyak” anggota karena ada anggota yang ditulis dua atau tiga kali. Saat bekerja dengan himpunan, anggota ganda seperti itu cukup kita buang.

Banyak anggota dan kesamaan himpunan

Kita dapat mendefinisikan banyak anggota himpunan, yaitu jumlah anggota dalam himpunan tersebut. Untuk contoh sebelumnya, A = {1, 1, 2, 2, 2} dan B = {2, 1}, banyak anggota himpunan A adalah dua dan banyak anggota himpunan B juga dua, karena saat menghitung anggota pun anggota ganda tidak diperhitungkan. Banyak anggota himpunan ditulis di antara dua garis tegak: |A| = |B| = 2. (Di buku sekolah, banyak anggota himpunan A sering ditulis n(A).)

Seperti yang mungkin sudah kamu duga, dua himpunan sama jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Beberapa contoh:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Sifat yang penting: suatu himpunan dapat memuat himpunan lain sebagai anggotanya. Contoh: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Perlu disadari bahwa himpunan C mempunyai tiga anggota, bukan enam. Himpunan C memuat tiga anggota: 1, 2, dan sebuah himpunan. Anggota 3, 4, 5, dan 6 adalah anggota himpunan yang di dalam, bukan anggota himpunan C. Jadi, |C| = 3. Contoh yang lebih rumit:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Berapa banyak anggota himpunan D? Ada tiga anggota, yaitu:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Himpunan bisa berhingga atau tak hingga. Semua himpunan yang sudah kita sebutkan adalah himpunan berhingga. Contoh himpunan tak hingga adalah himpunan semua bilangan.

Himpunan bagian

Misalkan ada dua himpunan A = {1, 2} dan B = {1, 2, 3}. Kedua himpunan ini berbeda karena anggotanya tidak sama; himpunan B lebih besar. Namun, kamu tentu memperhatikan bahwa himpunan B memuat semua anggota himpunan A, hanya saja ditambah anggota 3. Dalam hal ini kita katakan bahwa A adalah himpunan bagian dari B.

Jika A himpunan bagian dari B, semua anggota himpunan A harus juga menjadi anggota himpunan B. Menjadi himpunan bagian adalah suatu relasi dan ditulis dengan lambang ⊆. Definisi formalnya:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Biasanya diasumsikan bahwa himpunan A dan B boleh sama, dan A ⊆ B tetap berlaku. Jika ingin menyatakan himpunan bagian dalam arti tegas, kita memakai lambang lain: ⊂. Jika A ⊂ B, himpunan B harus lebih besar (jika berhingga), yaitu harus memuat anggota yang tidak dimuat himpunan A. Himpunan seperti itu disebut “himpunan bagian sejati”. Jadi, jika A ⊂ B, maka A adalah himpunan bagian sejati dari B. Definisi himpunan bagian sejati:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Definisinya sama dengan definisi himpunan bagian biasa, hanya saja kedua himpunan tidak boleh sama. (Di buku sekolah, lambang ⊂ sering dipakai juga untuk himpunan bagian biasa; di sini kita membedakan kedua lambang.) Beberapa contoh:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Sifat-sifat himpunan bagian:

• A ⊆ A: setiap himpunan selalu merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri.
• A ⊄ A: tidak ada himpunan yang merupakan himpunan bagian sejati dari dirinya sendiri.
• ∅ ⊆ A: himpunan kosong adalah himpunan bagian dari himpunan apa pun.
• A ⊄ ∅: himpunan kosong tidak mempunyai himpunan bagian sejati.

Dengan himpunan bagian, kesamaan dua himpunan dapat ditulis sebagai berikut:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Jika kedua himpunan sama, masing-masing merupakan himpunan bagian dari yang lain.

Relasi himpunan bagian juga disebut “inklusi”.

Himpunan kuasa

Himpunan kuasa adalah himpunan semua himpunan bagian dari suatu himpunan. Biasanya dilambangkan dengan P(M) atau 2^M.

Contoh: M = {1, 2, 3}. Apa saja himpunan bagiannya? Tentu saja himpunan kosong dan himpunan M itu sendiri. Selain itu: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Semua himpunan ini membentuk himpunan kuasa dari himpunan M. Kita tuliskan: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Karena himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan dan M selalu merupakan himpunan bagian dari M, selalu berlaku ∅ ∈ P(M) dan M ∈ P(M).

Cara menuliskan himpunan

Satu cara sudah kita sebutkan, yaitu mendaftar anggota-anggotanya. Untuk itu kita memakai kurung kurawal: M = {1, 2, 3}, N = {a, b, c, d}, dan sebagainya. Untuk menuliskan himpunan tak hingga, kita boleh memakai tiga titik, asalkan jelas bagaimana anggota-anggotanya berlanjut: M = {1, 2, 3, …}

Cara utama menuliskan himpunan adalah dengan sifat anggotanya (notasi pembentuk himpunan). Secara umum, penulisannya seperti ini: {x ∈ X | P(x)}, dengan X himpunan tempat anggota dipilih dan P(x) suatu rumus yang menentukan anggota himpunan. Rumus ini boleh ditulis secara matematis atau dengan kata-kata. Selain “|”, kadang dipakai juga titik koma “;”.

Misalnya, “himpunan M memuat semua bilangan yang menyatakan tanggal dalam satu bulan”. Satu bulan paling banyak mempunyai 31 hari, jadi himpunan ini mempunyai 31 anggota, dari 1 sampai 31. Dengan tiga titik, himpunan ini dapat ditulis seperti ini: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Penulisan lain untuk himpunan yang sama: {x ∈ ℤ | x menyatakan tanggal dalam satu bulan}, dengan ℤ melambangkan himpunan bilangan bulat.

Contoh yang lebih matematis: “himpunan P memuat semua bilangan positif yang habis dibagi 5”. Himpunan ini seperti berikut: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Coba kita tuliskan secara matematis himpunan T yang memuat bilangan asli kurang dari sepuluh: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Penulisan ini berarti: himpunan T terdiri atas anggota x yang diambil dari himpunan bilangan asli dan memenuhi syarat lebih kecil daripada 10. Jadi, kita lihat bilangan-bilangan asli dan ambil yang kurang dari sepuluh saja: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Selesai.

Contoh lain: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Kita mendefinisikan himpunan Y yang memuat anggota x dari bilangan bulat, dan satu-satunya syarat yang harus dipenuhi x adalah tidak sama dengan nol. Jadi, himpunan Y memuat semua bilangan bulat kecuali nol.

Contoh lain: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Himpunan G memuat anggota x dari bilangan real, dan setiap anggota x harus memenuhi syarat berikut: jika dikalikan dengan dirinya sendiri, hasilnya kembali x. Misalnya, kita coba bilangan 5. Menurut definisi, harus berlaku 5 · 5 = 5. Kesamaan ini jelas salah, jadi 5 bukan anggota himpunan G. Kita coba 1: 1 · 1 = 1. Untuk 1 kesamaan ini benar, jadi 1 adalah anggota himpunan G. Anggota kedua sekaligus terakhir adalah 0. Untuk bilangan lain kesamaan ini tidak berlaku lagi. Jadi, dapat ditulis: G = {0, 1}.

Contoh terakhir. Berikut sesuatu yang lebih rumit, supaya kamu melihat bahwa sifat anggota himpunan juga bisa rumit:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

Dalam praktik, himpunan paling sering didefinisikan dengan sifat anggotanya. Bahkan dapat dikatakan bahwa banyak konsep matematika didefinisikan dengan himpunan. Misalnya interval: interval (a, b) adalah himpunan I yang memenuhi:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Ini adalah semua anggota himpunan bilangan real yang lebih besar daripada a dan lebih kecil daripada b, persis seperti yang dinyatakan oleh interval tersebut.

Sumber lain

• Wikipedia