Diskriminan

Diskriminan adalah bentuk aljabar yang dapat kita gunakan untuk menghitung penyelesaian persamaan kuadrat bentuk umum, atau untuk menentukan apakah persamaan itu mempunyai penyelesaian dan berapa banyak penyelesaiannya.

Rumus dan hubungan dasar

Pertama, kita ingat kembali bentuk umum persamaan kuadrat:

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

dengan a, b, c bilangan real. Diskriminan, yang kita lambangkan dengan D, dihitung seperti ini:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Contoh: diberikan persamaan kuadrat 3x² + 5x − 7 = 0. Untuk persamaan ini a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminannya kita hitung seperti ini:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Jadi, hasilnya 109. Apa arti bilangan ini? Jika diskriminannya…

• positif, persamaan mempunyai dua akar real berbeda,
• nol, persamaan mempunyai dua akar real yang sama (akar kembar),
• negatif, persamaan tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan real. Namun, persamaan itu mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan kompleks.

Cara menghitung akar-akar persamaan kuadrat

Dengan diskriminan, kita dapat langsung menghitung akar-akar persamaan kuadrat. Rumus untuk menghitung akar-akarnya (rumus kuadrat atau rumus abc) adalah:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$$

dengan D adalah diskriminan. Jika diskriminannya dituliskan lengkap, rumusnya menjadi seperti ini:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Mari kita gunakan rumus ini untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat x² + 7x + 12 = 0. Pertama, kita hitung diskriminannya:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Diskriminannya positif, sehingga persamaan ini mempunyai dua akar real berbeda. Kita hitung akar pertama. Pada langkah pertama kita menambahkan akar kuadrat diskriminan, pada langkah kedua kita mengurangkannya:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

Akar pertama adalah −3. Akar kedua kita hitung dengan mengurangkan akar kuadrat diskriminan:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Sekarang kedua akar persamaan sudah kita peroleh, yaitu x₁ = −3 dan x₂ = −4.

Agar bisa menguasai cara ini, kamu harus bisa menentukan nilai a, b, dan c dengan benar. Cara menentukannya dijelaskan dalam artikel pertama tentang persamaan kuadrat.

Apa arti penyelesaian ini secara grafis? Jika kita menggambar grafik fungsi di ruas kiri persamaan, terlihat bahwa grafik fungsi kuadrat ini memotong sumbu x di dua titik, yaitu di x₁ = −3 dan x₂ = −4.

Diskriminan nol

Jika diskriminannya nol, persamaan mempunyai penyelesaian, tetapi hanya satu, atau tepatnya dua penyelesaian yang sama. Contoh: selesaikan persamaan x² − 10x + 25 = 0. Kita hitung diskriminannya:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

Akarnya kita hitung dengan rumus, sama seperti pada bagian sebelumnya. Namun, karena diskriminannya nol, bagian plus/minus akar kuadrat D hilang dari rumus, sebab kita akan menambahkan atau mengurangkan nol.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Kita memperoleh satu akar kembar, x = 5. Apa artinya secara grafis? Grafik fungsi itu menyinggung sumbu x tepat di satu titik, yaitu di titik puncaknya.

Diskriminan negatif

Jika diskriminannya negatif, persamaan kuadrat tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan real. Persamaan itu dapat diselesaikan dalam himpunan bilangan kompleks, tetapi hal itu akan dibahas dalam artikel berikutnya. Sebagai contoh, kita coba selesaikan persamaan kuadrat berikut: x² + x + 1 = 0. Diskriminannya:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Jadi, persamaan kuadrat ini tidak mempunyai penyelesaian dalam himpunan bilangan real. Kamu bisa mencobanya sendiri: bentuk x² + x + 1 bernilai positif untuk semua bilangan real. Misalnya, jika x kamu substitusikan dengan 1, diperoleh 1 + 1 + 1 = 3. Jika x = −1, diperoleh 1 − 1 + 1 = 1. Jika x = 0, diperoleh 0 + 0 + 1 = 1. Begitu pula untuk bilangan-bilangan lain. Kamu juga bisa melihat grafik fungsi y = x² + x + 1, yang tidak pernah memotong sumbu x.

Rumus jumlah dan hasil kali akar

Kita sudah tahu cara menghitung penyelesaian persamaan kuadrat. Namun, bagaimana hubungan antara kedua penyelesaian itu? Mari kita jumlahkan kedua penyelesaian x₁ dan x₂:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Jika akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dijumlahkan, diperoleh hasil bagi −b/a. Apa yang terjadi jika akar-akarnya dikalikan?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{D}-b\cdot \sqrt{D}-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Jadi, jika akar-akarnya dikalikan, diperoleh bilangan c/a. Inilah rumus jumlah dan hasil kali akar, yang juga disebut rumus Vieta. Sekali lagi, keduanya bersama-sama:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Perhatikan bahwa penyebut pecahan selalu a. Kasus khusus adalah persamaan kuadrat dengan a = 1. Untuk persamaan ini, rumus Vieta dapat ditulis seperti ini:

$$\begin{array}{r}\text{jika }a=1:\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

Hal ini dapat kita manfaatkan untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat. Daripada repot menghitung diskriminan, kita bisa mencoba mencari bilangan x₁ dan x₂ yang memenuhi hubungan di atas. Contoh: tentukan penyelesaian persamaan x² + 8x + 15 = 0. Di sini a = 1, sehingga kita bisa memakai rumus Vieta yang lebih sederhana. Kita mencari bilangan x₁ dan x₂ sehingga berlaku:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Jika kita hanya memakai bilangan bulat, ada empat kemungkinan hasil kali yang menghasilkan 15:

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Sekarang kita perlu pasangan yang jumlahnya −8. Hanya satu pasangan yang memenuhi, yaitu −3 dan −5. Jadi, bilangan-bilangan ini adalah penyelesaian persamaan kuadrat tersebut. Kita bisa mencoba menyubstitusikannya ke persamaan, dan hasilnya harus nol:

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Cocok. Jika kamu mengetahui akar-akarnya, persamaan juga dapat ditulis dalam bentuk yang lebih mudah dibaca (bentuk faktor). Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0 dengan a = 1, persamaan itu dapat ditulis ulang menjadi

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Jadi, persamaan sebelumnya dapat ditulis ulang menjadi:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$