Ordnet utvalg

Vi bruker ordnet utvalg når vi velger et bestemt antall objekter fra en mengde, og rekkefølgen vi velger objektene i, har noe å si.

Utledning av formelen

Vi begynner med en typisk oppgave om ordnet utvalg: I en bygd arrangeres det hvert år en konkurranse i å spise raspeballer. Sju deltakere med fett rundt munnen har gått videre til finalen. Regn ut hvor mange måter disse sju deltakerne kan fordele de tre første plassene på.

Det er viktig å være klar over at rekkefølgen har noe å si i dette eksemplet. Hvis vi for eksempel vet at Per, Jakob og Henrik kommer på de tre første plassene, gir akkurat disse tre oss seks ulike plasseringer:

• Per, Jakob, Henrik;
• Per, Henrik, Jakob;
• Jakob, Per, Henrik;
• Jakob, Henrik, Per;
• Henrik, Per, Jakob;
• Henrik, Jakob, Per.

Dette er alle ulike plasseringer, og vi vil regne ut hvor mange ulike plasseringer vi til sammen kan lage når det er 7 deltakere.

Til dette bruker vi multiplikasjonsprinsippet. Vi sier at vi velger tripler på formen (x₁, x₂, x₃), der x₁ er deltakeren som kom på førsteplass osv. Hvilke deltakere kan vi sette inn for x₁? Alle, så for x₁ kan vi sette inn 7 deltakere. Hvilke kan vi sette inn for x₂? Alle unntatt den vi allerede har satt på førsteplass, så for x₂ kan vi sette inn 7 − 1 = 6 deltakere. For x₃ kan vi sette inn de deltakerne som ikke er på første- eller andreplass, og da har vi 7 − 2 = 5 muligheter. Vi bruker multiplikasjonsprinsippet og får det totale antallet muligheter: 7 · 6 · 5 = 210.

Vi kan se at hvis vi vil vite antall muligheter for de 4 første plassene, kan vi for x₄ sette inn 7 − 3 = 4 deltakere, så det totale antallet muligheter blir 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Hva kan vi utlede av dette?

Hvis vi har en mengde med n elementer (her i eksemplet 7 spisere) og velger 3 elementer slik at rekkefølgen har noe å si, er resultatet lik n · (n − 1) · (n − 2). På førsteplass kan alle havne, på neste plass en færre osv. Av dette kan vi utlede en generell formel for det å velge k elementer fra en mengde med n elementer: Antall muligheter er lik n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Denne formelen kan vi skrive om videre ved hjelp av fakultet. Når vi ser på fakultetet til sju: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 og på hvordan vi regnet ut antall medaljeplasseringer, 7 · 6 · 5, ser vi en viss likhet. Vi trenger bare å bli kvitt halen, altså vi må dele 7! på 4 · 3 · 2 · 1, så det bare står igjen 7 · 6 · 5. Og hva er uttrykket 4 · 3 · 2 · 1 lik? Det er lik 4!.

Vi kan dermed skrive at når vi har en mengde med n elementer og velger til sammen k elementer slik at rekkefølgen har noe å si, har vi til sammen

$${}_n{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$$

muligheter. Setter vi inn tallene fra raspeball-konkurransen i formelen, får vi:

$${}_7{P}_3=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Kalkulator

Den følgende kalkulatoren regner ut antall ordnede utvalg for gitte n og k.

Løste eksempler

1. Vi blir i raspeball-konkurransen. Hvordan ville antall mulige medaljeplasseringer endre seg hvis vi visste at Ludvig Schnitzel, som er en mester og alltid vinner, kom til konkurransen? Altså: Hvor mange ulike medaljeplasseringer finnes det hvis vi har 7 deltakere og Ludvig helt sikkert vinner?

Dette er igjen et enkelt ordnet utvalg. Førsteplassen er sikker, og blant de 6 gjenværende deltakerne må vi bestemme hvordan de kan fylle andre- og tredjeplassen. Vi velger altså 2 elementer fra en mengde med 6 elementer, og det gir

$${}_6{P}_2=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. For lenge siden, da Ludvig Schnitzel ennå ikke var en slik mester, kom han jevnlig blant de tre beste. Hvor mange ulike medaljeplasseringer finnes det hvis vi har 7 deltakere og Ludvig helt sikkert får en medalje?

   Dette eksemplet skiller seg fra det forrige ved at vi ikke vet hvilken plass Ludvig kom på; han kan ha kommet på andreplass eller til og med tredjeplass, noe han fortsatt skammer seg over. Derfor må vi regne ut tre ulike ordnede utvalg til sammen: for tilfellet der Ludvig vant, deretter for tilfellet der han fikk sølv, og til slutt for tilfellet der han fikk bronse. Men hver gang er det bare to plasser igjen der noen andre kan havne. Hvis Ludvig for eksempel ble nummer to, kunne de andre deltakerne havne enten på første- eller på tredjeplass. Vi regner altså igjen ut et ordnet utvalg av 2 fra 6, men vi må regne det ut tre ganger, for tre ulike plasseringer av Ludvig. Det totale antallet plasseringer er dermed lik:

   $$3\cdot {}_6{P}_2=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Legg merke til at tallet 3 foran kan skrives som {}₃P₁, for vi velger i virkeligheten ett element (én bestemt plassering) fra en mengde med tre elementer (tre medaljeplasser).

3. På en skole er det til sammen 20 lærere. Snart er det eksamen, og det skal settes sammen en sensorgruppe med følgende sammensetning: én leder, én snill sensor og én slem sensor. Hvor mange muligheter finnes det til sammen?

   Først må vi svare på spørsmålet om rekkefølgen har noe å si — ja, den har det, for de tre lærerne kan fordeles på seks ulike måter. Nå er det enkelt — vi velger et ordnet utvalg av 3 fra 20 elementer:

   $${}_{20}{P}_3=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Hvor mange tresifrede tall kan vi sette sammen av sifrene {0, 1, 2, 3, 4, 5} hvis ingen siffer får gjentas?

   Har rekkefølgen noe å si? Ja, 123 er et annet tall enn 321. Hvor mange ulike tripler finnes det? Det er et enkelt ordnet utvalg av 3 fra 6:

   $${}_6{P}_3=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Men vi må fortsatt trekke fra de utvalgene som har null på første plass, for 012 er ikke et tresifret tall. Spørsmålet er nå — hvor mange ulike tripler begynner med null? I så fall er det bare de to siste plassene som skifter siffer (triplene har formen (0, x₂, x₃)), så vi leter etter hvor mange ulike par vi kan lage ved hjelp av tallene {1, 2, 3, 4, 5}. Det er igjen enkelt: {}₅P₂ = 5!/3! = 20. Det finnes altså 20 tripler som begynner med null.

   Det totale antallet tresifrede tall som er satt sammen av sifrene {0, 1, 2, 3, 4, 5}, er dermed 120 − 20 = 100.

5. Hvor mange ulike tresifrede tall kan vi sette sammen av sifrene {1, 2, 3, 4, 5} hvis ingen siffer får gjentas og tallet skal være et oddetall?

   Rekkefølgen har noe å si, for 123 er et annet tall enn 321. Vi setter sammen et tresifret tall som er et oddetall, og det betyr at på de to første plassene kan det stå et hvilket som helst siffer, men på den siste må det stå ett av sifrene {1, 3, 5}. Først regner vi ut antall tripler vi kan sette sammen av de fem sifrene: {}₅P₃ = 5! / 2! = 60.

   Hvert siffer vil stå like ofte på siste plass, så med 5 siffer vil hvert siffer stå på siste plass 60 / 5 = 12 ganger. Vi har tre siffer {1, 3, 5} som kan stå på siste plass, så vi har 12 ulike tall som ender på 1, 12 tall som ender på 3 og 12 tall som ender på 5. Vi bruker addisjonsprinsippet og får til sammen 12 + 12 + 12 = 36 muligheter.

6. Regn ut x når du vet at {}_xP₂ = 72. Med andre ord: Fra en mengde med x elementer velger vi par, og vi vet at vi kan velge til sammen 72 ulike par. Hvor stor var mengden vi valgte parene fra? Vi skriver det ut:

   $${}_x{P}_2=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Vi forenkler videre:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Dette er allerede en vanlig andregradslikning, så vi løser den ved hjelp av diskriminanten, eller vi kan skrive likningen om til formen

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   som vi kan lese løsningene direkte av: x₁ = −8 og x₂ = 9. Den negative løsningen interesserer oss ikke, for en mengde kan ikke ha negativt antall elementer, så løsningen av den opprinnelige likningen er x = 9, og mengden hadde ni elementer.