Ordnat urval

Ordnat urval använder vi när vi väljer ett visst antal objekt ur en mängd av objekt och ordningen i vilken vi väljer objekten spelar roll.

Härledning av formeln

Vi börjar med en typisk uppgift om ordnat urval: i en liten by anordnas varje år en tävling i att äta kanelbullar. Totalt sju kladdiga tävlande har tagit sig till finalen. Beräkna på hur många olika sätt de sju deltagarna kan fylla de tre första platserna.

Det är viktigt att inse att ordningen spelar roll i det här exemplet. Om vi till exempel vet att Oscar, William och Lucas hamnar på de tre första platserna, så ger den här tripeln oss totalt sex olika placeringar:

• Oscar, William, Lucas;
• Oscar, Lucas, William;
• William, Oscar, Lucas;
• William, Lucas, Oscar;
• Lucas, Oscar, William;
• Lucas, William, Oscar.

Det här är alla olika placeringar och vi vill räkna ut hur många olika placeringar vi totalt kan bilda när det finns 7 tävlande.

Vi använder multiplikationsprincipen. Vi säger att vi väljer tripler på formen (x₁, x₂, x₃), där x₁ är den tävlande som kom på första plats osv. Vilka tävlande kan vi sätta in för x₁? Alla, så för x₁ kan vi sätta in 7 tävlande. Vilka kan vi sätta in för x₂? Alla utom den som vi redan har satt på första plats, så för x₂ kan vi sätta in 7 − 1 = 6 tävlande. För x₃ kan vi sedan sätta in de tävlande som inte är på första eller andra plats, så vi har 7 − 2 = 5 möjligheter. Vi tillämpar multiplikationsprincipen och får det totala antalet möjligheter: 7 · 6 · 5 = 210.

Vi ser också att om vi vill veta antalet möjligheter på de första 4 platserna, så kan vi för x₄ sätta in 7 − 3 = 4 tävlande, så det totala antalet möjligheter blir 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Vad kan vi härleda av det?

Om vi har en mängd med n element (här i exemplet 7 ätare) och väljer 3 element, där ordningen spelar roll, så är resultatet n · (n − 1) · (n − 2). På första platsen kan alla hamna, på nästa plats en färre osv. Av det kan vi härleda en allmän formel för när vi väljer k element ur en mängd med n element: antalet möjligheter är n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Den här formeln förenklar vi ytterligare med hjälp av fakultet. Om vi tittar på hur sju fakultet ser ut: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 och hur vi räknade antalet medaljplaceringar 7 · 6 · 5, så ser vi en viss likhet. Vi behöver bara bli av med slutet, dvs. vi behöver dela 7! med 4 · 3 · 2 · 1, så att bara 7 · 6 · 5 blir kvar. Och vad är uttrycket 4 · 3 · 2 · 1 lika med? Det är lika med 4!.

Vi kan alltså skriva att om vi har en mängd med n element och väljer totalt k element, där ordningen spelar roll, så har vi totalt

$$\frac{n!}{(n-k)!}$$

möjligheter. Om vi sätter in talen från kanelbullstävlingen (3 element ur 7) i formeln får vi:

$$\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Miniräknare

Följande miniräknare beräknar antalet ordnade urval för givna n och k.

Lösta exempel

1. Vi stannar kvar vid tävlingen i att äta kanelbullar. Hur skulle antalet möjliga medaljplaceringar ändras om vi visste att Hugo Schnitzel, som är en mästare och alltid vinner, kommer till tävlingen? Dvs. hur många olika medaljplaceringar finns det om vi har 7 tävlande och Hugo säkert vinner?

Det är återigen ett enkelt ordnat urval: förstaplatsen är given och bland de återstående 6 tävlande ska vi bestämma hur de kan fylla andra och tredje plats. Vi väljer alltså 2 element ur en mängd med 6 element, vilket ger antalet ordnade urval

$$\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. Förr i tiden, när Hugo Schnitzel ännu inte var någon sådan mästare, kom han regelbundet bland de tre första. Hur många olika medaljplaceringar finns det om vi har 7 tävlande och Hugo säkert får någon medalj?

   Det här exemplet skiljer sig från det förra genom att vi inte vet på vilken plats Hugo kom; han kunde ha kommit tvåa eller till och med trea, vilket han fortfarande skäms över. Därför måste vi räkna ut totalt tre olika ordnade urval: för fallet då Hugo vann, sedan om Hugo fick silver och slutligen brons. Men varje gång återstår bara två platser där någon annan kan hamna. Om Hugo till exempel kom tvåa, kunde de andra deltagarna hamna antingen på första eller på tredje plats. Vi räknar alltså återigen ut ett ordnat urval av 2 element ur 6, men vi måste räkna ut det tre gånger, för Hugos tre olika placeringar. Antalet placeringar är därför lika med:

   $$3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Lägg märke till att trean framför kan ses som antalet ordnade urval av 1 element ur 3, eftersom vi i själva verket väljer ett element (en bestämd placering) ur en mängd med tre element (tre medaljplatser).

3. På en skola finns det totalt 20 lärare. Snart ska en jury utses för skolans talangtävling med följande sammansättning: en ordförande, en snäll jurymedlem och en sträng jurymedlem. Hur många möjligheter finns det totalt?

   Först måste vi besvara frågan om ordningen spelar roll – ja, det gör den, tre lärare kan vi återigen ordna på sex olika sätt. Nu är det enkelt – vi väljer ett ordnat urval av 3 element ur 20:

   $$\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Hur många tresiffriga tal kan vi bilda av siffrorna {0, 1, 2, 3, 4, 5} om ingen siffra får upprepas?

   Spelar ordningen roll? Ja, 123 är ett annat tal än 321. Hur många olika tripler finns det? Det är ett enkelt ordnat urval av 3 element ur 6:

   $$\frac{6!}{3!}=120.$$

   Men vi måste ännu dra bort de ordnade urval som har en nolla på första platsen, eftersom 012 inte är ett tresiffrigt tal. Frågan blir nu – hur många olika tripler finns det som börjar med noll? I så fall varierar siffrorna bara på de två återstående platserna (triplerna har formen (0, x₂, x₃)), så vi söker hur många olika par vi kan bilda med talen {1, 2, 3, 4, 5}. Det är återigen enkelt: antalet ordnade urval av 2 element ur 5 är 5!/3! = 20. Det finns alltså 20 tripler som börjar med noll.

   Det totala antalet tresiffriga tal som består av siffrorna {0, 1, 2, 3, 4, 5} är alltså 120 − 20 = 100.

5. Hur många olika tresiffriga tal kan vi bilda av siffrorna {1, 2, 3, 4, 5} om ingen siffra får upprepas och det resulterande talet ska vara udda?

   Ordningen spelar roll, eftersom 123 är ett annat tal än 321. Vi bildar ett tresiffrigt tal som är udda, vilket betyder att på de två första positionerna kan det stå vilken siffra som helst, men på den sista måste det stå en av siffrorna {1, 3, 5}. Först räknar vi ut antalet tripler som vi kan bilda av fem siffror: antalet ordnade urval av 3 element ur 5 är 5! / 2! = 60.

   Varje siffra förekommer lika ofta på sista platsen, så om vi har 5 siffror förekommer varje siffra 60 / 5 = 12 gånger på sista platsen. Vi har tre siffror {1, 3, 5} som kan stå på sista platsen, så vi har 12 olika tal som slutar på 1, 12 tal som slutar på 3 och 12 tal som slutar på 5. Vi använder additionsprincipen och får totalt 12 + 12 + 12 = 36 möjligheter.

6. Beräkna x om du vet att antalet ordnade urval av 2 element ur en mängd med x element är 72. Med andra ord: vi väljer par ur en mängd med storleken x och vet att vi kan välja totalt 72 olika par. Hur stor var mängden som vi valde paren ur? Vi skriver upp det:

   $$\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Vidare förenklar vi:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Det här är nu en klassisk andragradsekvation, så vi löser den med hjälp av diskriminanten eller så kan vi skriva om ekvationen till formen

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   ur vilken vi direkt kan avläsa lösningarna: x₁ = −8 och x₂ = 9. Den negativa lösningen intresserar oss inte, eftersom en mängd inte kan ha en negativ storlek, så lösningen till den ursprungliga ekvationen är x = 9, mängden hade nio element.