Fattoriale

Il fattoriale di un numero n è uguale al prodotto di tutti i numeri naturali maggiori di zero e minori o uguali a n. Il fattoriale si scrive con il punto esclamativo: n!. Per lo zero vale per definizione: 0! = 1. Il fattoriale si usa soprattutto nel calcolo combinatorio, dove serve ad esempio per calcolare le permutazioni. Per esempio, il fattoriale di cinque è 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definizione di fattoriale

Possiamo definire il fattoriale in modi diversi. Il più semplice è probabilmente questo:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{se n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{altrimenti}\end{array}$$

Possiamo anche dare la definizione tramite il prodotto:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Oppure, ancora, tramite l’integrale:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Calcoli con i fattoriali

I fattoriali compaiono spesso nelle frazioni. In questi casi si sfrutta il fatto che n! = n · (n − 1)!. Questo vale per definizione, lo vediamo con un esempio. Sappiamo che il fattoriale di quattro, 4!, è uguale al prodotto dei seguenti numeri naturali: 4 · 3 · 2 · 1. Possiamo però scrivere che il prodotto 3 · 2 · 1 è uguale al fattoriale di tre: 3 · 2 · 1 = 3!. Il fattoriale di quattro si può quindi scrivere come 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Grazie a questo possiamo semplificare in modo efficace molte frazioni con fattoriali. Esempio: semplifica l’espressione

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

La semplificazione si fa con la formula che abbiamo appena visto. Al numeratore possiamo scomporre il fattoriale in n · (n − 1)! e questo (con la stessa formula) possiamo scomporlo ancora in n · (n − 1) · (n − 2)!. Ora la frazione si semplifica facilmente:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Un altro esempio:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

E l’ultimo esempio sul fattoriale:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$