Equazioni di secondo grado

Un’equazione di secondo grado è un’equazione con una sola incognita elevata al quadrato. Se nell’equazione compare un’incognita con esponente maggiore di 2, non si tratta più di un’equazione di secondo grado.

Descrizione dell’equazione di secondo grado

La forma normale di un’equazione di secondo grado è la seguente:

$a x^{2} + b x + c = 0$

I valori a, b, c sono numeri reali e il valore a è diverso da zero. Altri nomi:

ax² si chiama termine di secondo grado,
bx si chiama termine di primo grado,
c si chiama termine noto.

Ogni equazione di secondo grado si può portare alla forma normale con i principi di equivalenza o con altri passaggi. Un esempio di equazione di secondo grado è questa:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Una domanda più difficile è se sia di secondo grado anche questa equazione:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Non si vede da nessuna parte x² e al secondo membro non c’è lo zero. Il secondo membro si sistema facilmente: sottraiamo 7 e otteniamo

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Ancora non compare x². Eliminiamo le parentesi e otteniamo:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Ora x² c’è. Sommando i termini simili otteniamo finalmente la forma normale dell’equazione di secondo grado:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

E nel prossimo esempio? È un’equazione di secondo grado? Si può portare alla forma normale?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

La risposta è no. Se infatti moltiplichiamo tutta l’equazione per l’incognita x per eliminare l’incognita al denominatore della frazione, otteniamo:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Ora compare x³, che in un’equazione di secondo grado non può esserci.

Esistono tipi particolari di equazioni di secondo grado, a seconda dei valori dei coefficienti a, b e c.

Valori dei coefficienti

Per i prossimi capitoli è fondamentale saper determinare i singoli coefficienti a, b e c. Cominciamo con un esempio semplice. Determina i coefficienti dell’equazione 3x² + 4x + 7 = 0. Qui è facile: a = 3, b = 4 e c = 7.

E per l’equazione 3x² − x + 2 = 0? I valori di a e c sono chiari, a = 3 e c = 2, ma qual è b? Sarebbe un errore scrivere b = 1. Immagina che davanti a x ci sia un 1, così: 3x² − 1x + 2 = 0. Ora si vede meglio che b = −1.

Un altro esempio interessante: x² − 3 = 0. Anche qui può nascere un dubbio sul coefficiente b, gli altri sono evidenti: a = 1 e c = −3. Quanto vale il coefficiente b? In questa equazione il termine di primo grado non compare affatto, è come se scrivessimo l’equazione nella forma x² + 0x − 3 = 0. Quindi b = 0.

Un esempio più complicato:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

In questa equazione ci sono due trabocchetti. Non c’è il termine noto, quindi c = 0. Il termine di secondo grado è chiaro, quindi a = 5. Ma quanto vale quel maledetto b? Possiamo modificare ancora un po’ l’equazione: con il raccoglimento a fattor comune mettiamo in evidenza l’incognita x dai due termini così:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

Il coefficiente b è di nuovo quello che sta «davanti» all’incognita x, quindi l’intera parentesi è uguale al coefficiente b = (3 + π). Un’equazione simile:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

I primi due coefficienti sono evidenti: a = −1 e b = 4. Qual è il termine noto? Sono i termini rimanenti, quelli senza x. Quindi $c = 1 - \sqrt{2}$ . Non aver paura delle radici, non mordono: è un numero come un altro.

E quali sono i valori per questa equazione? (x + 1)(x + 2) = −2x. Prima di tutto dobbiamo portare l’equazione alla forma normale. Eliminiamo le parentesi e otteniamo

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

e infine sommiamo 2x a entrambi i membri per avere zero al secondo membro:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

I valori ora sono evidenti: a = 1, b = 5, c = 2.

Equazione di secondo grado pura

Se b = 0, si tratta di un’equazione di secondo grado pura, che si risolve in modo simile a un’equazione di primo grado. La sua forma normale è quindi:

$a x^{2} + c = 0$

Poiché b = 0, tutto il termine di primo grado bx scompare dall’equazione, perché 0x = 0. Risolviamo l’equazione sottraendo prima il termine noto, cioè sottraiamo c a entrambi i membri. Otteniamo:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

Poi dividiamo l’equazione per il numero a. Otteniamo la forma:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

E infine estraiamo la radice quadrata. Deve valere che la frazione al secondo membro non sia negativa, perché la radice di un numero negativo non si può estrarre. Otteniamo il risultato:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Osserva che otteniamo due risultati, uno positivo e uno negativo. Si vedrà meglio con un esempio. Risolviamo l’equazione

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Secondo il procedimento, per prima cosa sottraiamo il termine c. Attenzione: in questo caso il termine c è negativo, quindi sottraiamo un numero negativo, cioè sommiamo uno positivo. A entrambi i membri sommiamo quindi +8 (l’obiettivo è portare l’8 al secondo membro). Otteniamo la forma:

$2 x^{2} = 8$

Poi, secondo il procedimento, dividiamo l’equazione per il numero a, cioè per 2. Dopo la divisione otteniamo:

$x^{2} = 4$

Ora estraiamo la radice.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Perché c’è anche meno due? Perché meno due per meno due fa quattro. Possiamo guardare anche la soluzione grafica: vediamo che il grafico della funzione 2x² − 8 interseca l’asse x proprio nei punti x₁ = −2 e x₂ = 2.

Soluzione grafica dell’equazione 2x^2-8=0

Risolvi l’equazione

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Sommiamo 5 a entrambi i membri:

$80 x^{2} = 5$

Dividiamo per 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Semplifichiamo la frazione:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Estraiamo la radice:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Equazione di secondo grado spuria

Un altro caso particolare di equazione di secondo grado si ha quando il termine noto c è uguale a zero. L’equazione ha la forma normale:

$a x^{2} + b x = 0$

Questo tipo di equazione si risolve con il raccoglimento a fattor comune dell’incognita:

$x (a x + b) = 0.$

Qui il risultato è già abbastanza chiaro. Di nuovo si ottengono due radici dell’equazione, ma una delle due sarà sempre uguale a zero. Il primo membro infatti è scritto come prodotto di due espressioni: x e la parentesi (ax + b). Quando questo prodotto è uguale a zero? Quando almeno una delle due espressioni è uguale a zero (legge di annullamento del prodotto). Il primo membro è quindi uguale a zero in due casi:

$x = 0 oppure a x + b = 0.$

La prima soluzione dell’equazione ce l’abbiamo già: è zero. L’altra la otteniamo risolvendo l’equazione di primo grado ax + b = 0. Dall’articolo sulle equazioni di primo grado sappiamo che questa equazione ha una sola soluzione, uguale a:

$x = - \frac{b}{a}$

Possiamo quindi scrivere il risultato dell’intera equazione di secondo grado ax² + bx = 0:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Esempio:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Raccogliamo x:

$x (6 x + 3) = 0$

La prima soluzione è x = 0. La seconda la troviamo risolvendo l’equazione di primo grado 6x + 3 = 0:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Scriviamo il risultato:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

Anche qui possiamo guardare il grafico della funzione, che interseca l’asse x proprio in questi punti:

Grafico della funzione 6x^2+3x

Altri metodi di risoluzione

Queste erano le tecniche di base per i tipi particolari di equazioni di secondo grado. L’equazione di secondo grado completa si risolve con il discriminante. Tra gli altri tipi di equazioni c’è l’equazione di secondo grado con parametro.

Calcolatrice

Inserisci i coefficienti a, b e c dell’equazione generale ax² + bx + c = 0: la calcolatrice calcola il discriminante e le soluzioni. La trovi anche come calcolatrice a sé per l’equazione di secondo grado.

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