Discriminante

Il discriminante è un polinomio che permette di calcolare le soluzioni di una generica equazione di secondo grado e di stabilire se l’equazione ha soluzioni e quante.

Formula e relazioni di base

Ricordiamo innanzitutto la forma normale dell’equazione di secondo grado:

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

dove a, b, c sono numeri reali. Il discriminante, che indichiamo con Δ, si calcola così:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Esempio: consideriamo l’equazione di secondo grado 3x² + 5x − 7 = 0. Per questa equazione vale: a = 3, b = 5, c = −7. Il discriminante si calcola così:

$$\mathrm{\Delta }=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Il risultato è quindi 109. Che cosa ci dice questo numero? Se il discriminante è…

• positivo, l’equazione ha due radici reali distinte,
• nullo, l’equazione ha due radici reali coincidenti,
• negativo, l’equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali. Ha però soluzioni nell’insieme dei numeri complessi.

Come calcolare le radici dell’equazione di secondo grado

Con il discriminante possiamo calcolare direttamente le radici dell’equazione di secondo grado. La formula risolutiva è la seguente:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},$$

dove Δ è il discriminante. La formula completa, con il discriminante scritto per esteso, è:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Proviamo a calcolare con questa formula le radici dell’equazione di secondo grado x² + 7x + 12 = 0. Per prima cosa calcoliamo il discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Il discriminante è positivo, quindi l’equazione ha due radici reali distinte. Calcoliamo la prima radice. Nel primo caso sommiamo la radice del discriminante, nel secondo la sottraiamo:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

La prima radice è −3. La seconda la calcoliamo sottraendo la radice:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Ora abbiamo entrambe le radici dell’equazione, x₁ = −3 e x₂ = −4.

Per padroneggiare questo procedimento è indispensabile saper determinare correttamente i valori a, b e c. Come si fa è spiegato nel primo articolo sulle equazioni di secondo grado.

E che cosa significa questa soluzione dal punto di vista grafico? Se disegniamo il grafico della funzione che sta al primo membro dell’equazione, scopriamo che il grafico di questa funzione quadratica interseca l’asse x in due punti: x₁ = −3 e x₂ = −4.

Discriminante nullo

Se il discriminante è uguale a zero, l’equazione ha una sola soluzione, o meglio due soluzioni coincidenti. Esempio: risolvi l’equazione x² − 10x + 25 = 0. Calcoliamo il discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

La radice si calcola come nel capitolo precedente, con la formula. Ma poiché il discriminante è nullo, nella formula scompare il più/meno la radice di Δ, perché sommeremmo o sottrarremmo zero.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Abbiamo ottenuto una radice doppia, x = 5. Che cosa significa graficamente? Che il grafico della funzione è tangente all’asse x in un solo punto, il suo vertice.

Discriminante negativo

Se il discriminante è negativo, l’equazione di secondo grado non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali. L’equazione si può risolvere nell’insieme dei numeri complessi, ma ne parleremo nel prossimo articolo. Come esempio proviamo a risolvere questa equazione di secondo grado: x² + x + 1 = 0. Discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

L’equazione di secondo grado non ha quindi soluzioni nell’insieme dei numeri reali. Puoi verificarlo: il polinomio x² + x + 1 è positivo per tutti i numeri reali. Per esempio, se al posto di x sostituisci 1, ottieni: 1 + 1 + 1 = 3. Se x = −1, abbiamo 1 − 1 + 1 = 1. Se x = 0, abbiamo 0 + 0 + 1 = 1. E così via per gli altri numeri. Puoi anche guardare il grafico della funzione y = x² + x + 1: non interseca mai l’asse x.

Relazioni tra radici e coefficienti

Sappiamo già come calcolare le soluzioni di un’equazione di secondo grado. Ma che relazione c’è tra di esse? Proviamo a sommare le due soluzioni x₁ e x₂:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Se sommiamo le radici dell’equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0, otteniamo il quoziente −b/a. Che cosa succede se le moltiplichiamo?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Quindi, se moltiplichiamo le radici, otteniamo il numero c/a. Queste sono le relazioni tra radici e coefficienti (dette anche formule di Viète). Ancora una volta tutte insieme:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Osserva che al denominatore della frazione c’è sempre l’espressione a. Un caso particolare è l’equazione di secondo grado per cui a = 1. In questo caso possiamo scrivere le relazioni così:

$$\begin{array}{r}\text{se }a=1:\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

Possiamo sfruttarle per trovare le soluzioni delle equazioni di secondo grado. Invece di calcolare faticosamente il discriminante, possiamo vedere se riusciamo a trovare due numeri x₁ e x₂ per cui valgano le relazioni precedenti. Esempio: trova le soluzioni dell’equazione x² + 8x + 15 = 0. Vale a = 1, quindi possiamo usare le relazioni più semplici. Cerchiamo i numeri x₁ e x₂ tali che:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Se ci limitiamo ai numeri interi, abbiamo in tutto quattro modi per ottenere 15 come prodotto:

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Ora ci serve che la somma dei numeri a sinistra dia −8. Solo una coppia dà questa somma, cioè −3 e −5. Questi numeri sono quindi le soluzioni dell’equazione di secondo grado. Possiamo provare a sostituirli nell’equazione, deve risultare zero:

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Torna tutto. Se conosci le radici, puoi anche scrivere l’equazione in una forma più leggibile. Se x₁ e x₂ sono le radici dell’equazione ax² + bx + c = 0, allora, se a = 1, puoi riscrivere l’equazione nella forma

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

L’equazione precedente si può quindi riscrivere così:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$