Insiemi

Un insieme si può intendere come una raccolta di elementi. Ogni insieme contiene quindi un certo numero di elementi, che può essere finito o infinito. Può anche non contenere alcun elemento: allora parliamo di insieme vuoto. Di solito indichiamo un insieme con una lettera maiuscola, per esempio M, e gli elementi dell’insieme con una lettera minuscola m.

Che cos’è un insieme

L’insieme è uno dei concetti fondamentali della matematica, e con esso si definiscono moltissime altre cose, perciò conviene chiarire subito all’inizio che cos’è un insieme, per non brancolare nel buio nel seguito dello studio.

Un insieme è dunque una raccolta di elementi qualsiasi. In matematica lavoriamo più spesso con insiemi numerici, cioè con insiemi i cui elementi sono numeri. La scrittura classica di un insieme in matematica è questa:

$$M=\{1,2,3\}$$

Abbiamo così descritto un insieme di nome «M», che contiene tre elementi: l’uno, il due e il tre. Gli insiemi si scrivono sempre tra parentesi graffe; praticamente ogni volta che vedi le parentesi graffe, si tratta di un insieme.

A che cosa possiamo usare gli insiemi? Gli insiemi ci dicono spesso quali elementi possiamo scegliere. Per esempio, nella vita di ogni giorno potresti dire qualcosa come «Giulia, facciamo un gioco, ti va? Pensa un numero da uno a cinque.» In questo modo hai indicato a Giulia un intervallo di numeri tra cui scegliere. In matematica useresti un insieme:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

E poi potresti dire a Giulia: «Giulia, facciamo un gioco, ti va? Pensa un numero qualsiasi contenuto nell’insieme L.» Il gioco sarebbe certamente subito più divertente. In matematica per scrivere che un elemento appartiene a un insieme usiamo il simbolo ∈, e quando non appartiene usiamo ∉. Se quindi vogliamo dire che l’uno appartiene all’insieme L, ma il sette no, lo scriviamo così: 1 ∈ L e 7 ∉ L.

Un insieme può ovviamente essere vuoto: per questo si usa la scrittura P = {} oppure, più semplicemente, P = ∅. Attenzione: entrambe le scritture significano «insieme vuoto»; se invece scrivessi P = {∅}, scriveresti un insieme che contiene al suo interno l’insieme vuoto. Non è la stessa cosa dell’insieme vuoto.

Mancanza di ordine e ripetizioni

Di un insieme non diciamo che i suoi elementi sono ordinati in un certo modo. Un insieme contiene una raccolta non ordinata di elementi. Se abbiamo due insiemi A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1}, diciamo che sono uguali. L’ordine degli elementi in un insieme semplicemente non conta.

Allo stesso modo non ci interessano gli elementi ripetuti. Se un insieme contiene più elementi uguali (più numeri uguali), consideriamo sempre una sola occorrenza di quell’elemento. Anche qui, se avessimo questi due insiemi A = {1, 1, 2, 2, 2} e B = {2, 1}, li considereremmo uguali. Non importa che l’insieme A contenga «più» elementi, perché contiene elementi ripetuti due o tre volte. Quando calcoliamo con gli insiemi, le ripetizioni semplicemente le eliminiamo.

Numero di elementi e uguaglianza

Possiamo definire il concetto di numero di elementi di un insieme, cioè quanti elementi ci sono nell’insieme. Dall’esempio precedente, A = {1, 1, 2, 2, 2} e B = {2, 1}, vale che il numero di elementi di A è due, ma anche quello di B è due, perché neanche quando contiamo gli elementi ci interessano le ripetizioni. Il numero di elementi (la cardinalità) di un insieme si indica tra due barre verticali: |A| = |B| = 2.

Come hai probabilmente capito, due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Alcuni esempi:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Una proprietà importante è che gli insiemi possono avere come elemento a loro volta un insieme. Esempio: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. È importante capire che l’insieme C ha tre elementi, non sei. L’insieme C contiene tre elementi: l’uno, il due e un insieme. Gli elementi 3, 4, 5 e 6 li contiene l’insieme interno, non l’insieme C. Quindi vale |C| = 3. Un esempio più complicato:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Quanti elementi contiene l’insieme D? Ne contiene tre, e sono questi:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Un insieme può essere finito o infinito. Tutti gli insiemi che abbiamo citato finora sono finiti. Infinito è per esempio l’insieme di tutti i numeri.

Sottoinsieme

Prendiamo due insiemi A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}. Questi insiemi sono diversi, perché non contengono gli stessi elementi: l’insieme B è più grande. Tuttavia avrai certamente notato che l’insieme B contiene esattamente gli stessi elementi dell’insieme A, solo che ha in più l’elemento 3. A questo punto possiamo dire che A è un sottoinsieme di B.

Se A è un sottoinsieme di B, deve valere che tutti gli elementi dell’insieme A appartengono anche all’insieme B. Essere un sottoinsieme è una relazione e la scriviamo con il simbolo ⊆. Definizione formale:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Di solito si ammette che gli insiemi A e B possano essere uguali, e anche in tal caso vale A ⊆ B. Se vogliamo esprimere la variante stretta del sottoinsieme, usiamo un altro simbolo: ⊂. Allora, se A ⊂ B, l’insieme B deve essere più grande (se è finito), cioè deve contenere un elemento che l’insieme A non contiene. Un insieme così lo chiamiamo «sottoinsieme proprio». Quindi, se A ⊂ B, allora A è un sottoinsieme proprio di B. Definizione di sottoinsieme proprio:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

La definizione è la stessa del sottoinsieme ordinario, solo che i due insiemi non devono essere uguali. Alcuni esempi:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Proprietà del sottoinsieme:

• A ⊆ A: un insieme è sempre sottoinsieme di sé stesso.
• A ⊄ A: un insieme non è mai sottoinsieme proprio di sé stesso.
• ∅ ⊆ A: l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi insieme.
• A ⊄ ∅: l’insieme vuoto non ha alcun sottoinsieme proprio.

Con i sottoinsiemi possiamo scrivere l’uguaglianza di insiemi:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Se i due insiemi sono uguali, ciascuno è sottoinsieme dell’altro.

Il sottoinsieme si può indicare anche con la parola «inclusione».

Insieme delle parti

L’insieme delle parti è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme. Di solito si indica con P(M) oppure con 2^M.

Esempio: M = {1, 2, 3}. Quali sono tutti i sottoinsiemi? Certamente l’insieme vuoto e l’insieme M stesso. Poi: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Tutti questi insiemi formano l’insieme delle parti dell’insieme M. Scriviamo: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Poiché l’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme e M è sempre sottoinsieme di M, varrà sempre ∅ ∈ P(M) e M ∈ P(M).

Come scrivere un insieme

Un modo l’abbiamo già citato: l’elenco semplice degli elementi. Per farlo usiamo le parentesi graffe. M = {1, 2, 3} oppure N = {a, b, c, d} e così via. Se scriviamo un insieme infinito, possiamo usare i tre puntini, quando è chiaro come proseguirà la successione degli elementi: M = {1, 2, 3, …}

Il modo principale per scrivere un insieme è la proprietà caratteristica dell’insieme. In generale la scrittura è questa: {x ∈ X ∣ P(x)}, dove X è l’insieme da cui scegliamo gli elementi e P(x) è una formula che specifica gli elementi dell’insieme. La formula può essere scritta in modo puramente matematico oppure a parole. Al posto di «|» si usa anche il punto e virgola «;».

Per esempio: «sia M l’insieme di tutti i numeri che indicano un giorno del mese». Un mese ha al massimo 31 giorni, quindi un insieme così avrebbe 31 elementi, da 1 a 31. Potremmo scriverlo con i puntini così: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Un’altra scrittura dello stesso insieme potrebbe essere questa: {x ∈ ℤ ∣ x indica un giorno del mese}, dove ℤ indica l’insieme dei numeri interi.

Un esempio più matematico potrebbe suonare così: «sia P l’insieme di tutti i numeri positivi divisibili per cinque». Allora l’insieme sarebbe fatto così: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Proviamo a scrivere in modo matematico l’insieme T dei numeri naturali minori di dieci, escluso lo zero: T = {x ∈ ℕ^* ∣ x<10}. Questa scrittura ci dice: l’insieme T è formato dagli elementi x che prendiamo dall’insieme dei numeri naturali, senza lo zero, e che soddisfano la condizione di essere minori di 10. Guardiamo quindi i numeri naturali e teniamo solo quelli minori di dieci: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. E questo è tutto.

Un altro esempio: Y = {x ∈ ℤ ∣ x ≠ 0}. Abbiamo definito l’insieme Y, che contiene gli elementi x che prendiamo dai numeri interi e l’unica condizione che x deve soddisfare è di non essere zero. L’insieme Y contiene quindi tutti i numeri interi tranne lo zero.

Un altro esempio: G = {x ∈ ℝ ∣ x · x = x}. L’insieme G contiene gli elementi x che prendiamo dai numeri reali e per tutti gli elementi x deve valere che, se li moltiplichiamo per sé stessi, otteniamo di nuovo il numero x. Per esempio, possiamo provare il numero 5. Per definizione deve valere questa uguaglianza: 5 · 5 = 5. Evidentemente non è vera, quindi il numero 5 non è un elemento dell’insieme G. Proviamo con l’uno: 1 · 1 = 1. In questo caso è evidentemente vera, quindi l’uno è un elemento dell’insieme G. Il secondo, e anche ultimo, elemento sarà il numero zero. Per nessun altro numero varrà. Possiamo quindi scrivere: G = {0, 1}.

E un ultimo esempio. Ne scrivo uno più complicato, così vedi che la proprietà caratteristica può anche essere complessa:

$$X=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2=2x)\vee (\mathrm{sen}(x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

Nella pratica l’insieme si definisce più spesso con una proprietà caratteristica, e si può dire che una buona parte dei concetti della matematica è definita per mezzo degli insiemi. Se prendiamo per esempio un intervallo, possiamo dire che l’intervallo (a; b) è l’insieme I per cui vale:

$$I=\{x\in \mathbb{R}\mid (x>a)\wedge (x<b)\}$$

Sono tutti gli elementi dell’insieme dei numeri reali che sono maggiori di a e minori di b, ed è esattamente ciò che esprime l’intervallo.

Altre fonti

• Wikipedia