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Numeri naturali

I numeri naturali sono i numeri che incontriamo più spesso nella vita di tutti i giorni. Sono i numeri interi non negativi, cioè 0, 1, 2, 3, 4, …

Notazione

I numeri naturali formano un insieme che contiene gli interi non negativi 0, 1, 2, 3, 4, … Di solito lo indichiamo con la lettera N con la prima asta doppia, così: ℕ. Il nome viene dalla parola «naturale».

In Italia si usa includere lo zero tra i numeri naturali, perciò ℕ contiene anche lo 0. Quando vogliamo escluderlo e considerare soltanto i numeri 1, 2, 3, … mettiamo un asterisco: ℕ* (si trova anche ℕ+). Attenzione: in altri paesi, e in alcuni libri, la convenzione è diversa e lo stesso simbolo indica i numeri da 1 in su, quindi controlla sempre che cosa significa il simbolo nel testo che stai leggendo.

Usiamo i numeri naturali soprattutto per indicare una quantità («a casa abbiamo tre sedie», «nel parco ci sono trenta panchine», …) e per indicare un ordine («il primo uomo sulla Luna», «il Canada è il secondo paese più grande del mondo», …).

Proprietà

I numeri naturali hanno alcune proprietà interessanti:

  1. L’insieme dei numeri naturali è infinito, ma è numerabile: possiamo disporli tutti in una successione.
  • I numeri naturali sono chiusi rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. Significa che, se sommiamo o moltiplichiamo due numeri naturali qualsiasi, otteniamo di nuovo un numero naturale.
  • Non sono chiusi rispetto alla sottrazione, perché se sottraiamo un numero più grande da uno più piccolo otteniamo un numero negativo.
  • Allo stesso modo non sono chiusi rispetto alla divisione: per esempio 7/2 non è un numero naturale.

Divisione con resto

Nel paragrafo precedente abbiamo visto che i numeri naturali non sono chiusi rispetto alla divisione. Possiamo però definire la divisione con resto, che sicuramente conosci già. Se dividiamo 7/2, otteniamo 3,5. Con la divisione con resto, invece, otteniamo come risultato 3 con resto 1. Infatti, se moltiplichiamo 3 · 2 e aggiungiamo il resto, otteniamo di nuovo 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Rispetto a questa operazione i numeri naturali (zero compreso) sono chiusi: sia il quoziente sia il resto appartengono all’insieme ℕ.

La definizione di divisione con resto è la seguente:

a=bq+r;a,q,r∈N,b∈N∗,r<b

Nella definizione abbiamo diviso a:b; il numero r si chiama resto della divisione e q quoziente. Che cosa significano le condizioni? Ci muoviamo tra i numeri naturali, zero compreso, ma poiché non si può dividere per zero, scegliamo b nell’insieme senza lo zero.

Facciamo un esempio: per calcolare 19:5 varrebbe a = 19 e b = 5. La scomposizione sarebbe questa:

19=5⋅3+4

Quindi q = 3 è il quoziente e r = 4 è il resto.