Relazioni

Una relazione è l’equivalente matematico del concetto normale di «rapporto» tra due cose. Nella vita di tutti i giorni, per esempio, Chiara è in relazione con Giulia, e precisamente con la relazione «madre — figlia». Un’altra relazione è «stato — capitale di quello stato». Come esempio possiamo prendere Egitto — Il Cairo.

Altri esempi di relazioni

Vediamo altri esempi. Nell’introduzione abbiamo accennato alle relazioni «essere la madre di una figlia» e «essere la capitale di uno stato». Guardiamone altre: «essere un numero pari». In questa relazione ci sono i numeri 2, 4, 8, 18, 58, 66 e tanti altri. I numeri 1, 3, −7, 19 non sono nella relazione «essere un numero pari». Una relazione del mondo di tutti i giorni può essere «essere un uomo». Marco, Luca, Francesco o Matteo sono nella relazione «essere un uomo».

Un altro esempio è la relazione «minore di». Per esempio il numero tre è «minore di» cinque. In matematica lo scriviamo 3<5. Oppure la relazione di uguaglianza: il numero tre «è uguale a» tre, in matematica: 3 = 3.

Possiamo avere anche esempi più complicati: «padre e madre sono i genitori di un figlio». In questa relazione ci sarà una terna di persone: il padre Daniele, la madre Maria e la figlia Sofia. In matematica potremmo inventare una relazione con tre elementi così: la somma dei primi due numeri è uguale al terzo numero. Per esempio questi numeri, in quest’ordine, sono in questa relazione: 3, 4, 7, perché 3 + 4 = 7. Questi numeri non sono nella relazione: 3, 5, 12, perché 3 + 5 ≠ 12.

Arità di una relazione

L’arità è un termine dal suono strano, che indica semplicemente quanti elementi abbiamo in una relazione. Negli esempi precedenti abbiamo lavorato con un numero diverso di elementi. Per la relazione «essere un uomo» ci è bastato un elemento, e possiamo dire: «Marco è un uomo». Ci basta un solo nome, un solo elemento. Una relazione così si dice unaria.

Nell’esempio successivo avevamo la relazione «minore di». Lavorava con due numeri, con due elementi. Abbiamo detto che il numero tre è minore di cinque. Abbiamo usato due elementi, quindi la relazione è binaria.

Nell’ultimo esempio abbiamo usato in tutto tre elementi: la somma di due numeri doveva essere uguale al terzo. Avevamo quindi i numeri a, b, c e doveva valere a + b = c. Questa relazione è ternaria.

Per arità più alte possiamo usare la notazione di relazione n-aria. Ma possiamo usarla anche per arità più basse: una relazione binaria possiamo scriverla come relazione 2-aria. Gli elementi della relazione si scrivono poi come n-uple ordinate. Se abbiamo una relazione binaria, li scriviamo come coppie, di solito con parentesi tonde oppure con parentesi quadre. Quindi, se vogliamo scrivere che i numeri tre e cinque sono nella relazione «minore di», dobbiamo scriverli come coppia: (3; 5), oppure [3; 5]. Attenzione: l’ordine conta, nell’altro ordine non varrebbe: (3; 5) ≠ (5; 3) — cinque non è minore di tre.

Un esempio in famiglia

Prima di passare alle definizioni matematiche, proviamo ancora un esempio tipico con una famiglia. Prendiamo questi membri di una famiglia:

• Massimo: nonno paterno;
• Giorgio: padre;
• Elena: madre;
• Sofia: figlia;
• Luca: figlio.

Per prima cosa cerchiamo tutti i membri della famiglia che corrispondono alla relazione «essere un uomo». Si tratta di una relazione 1-aria, cioè unaria. Nella relazione ci sarà quindi sempre un solo elemento, un solo membro della famiglia. Dobbiamo elencare tutti i membri della famiglia di sesso maschile. Ora l’ordine non conta. La relazione «essere un uomo» contiene quindi questi elementi: {(Massimo), (Giorgio), (Luca)}. Osserva che, anche se la relazione è unaria, abbiamo usato le parentesi tonde. Non è per niente necessario, la scrittura sarebbe leggibile anche senza, ma per coerenza ho lasciato le parentesi. L’insieme di tutti gli elementi della relazione è poi un semplice insieme, e per questo ci sono le parentesi graffe.

Ora cerchiamo la relazione «padre — figlio». Questa è già a prima vista una relazione binaria, nel risultato compariranno coppie ordinate di elementi. L’insieme risultante è fatto così: {(Giorgio; Luca), (Massimo; Giorgio)}. Il padre Giorgio è il padre del figlio Luca e il nonno Massimo è il padre del padre Giorgio. Osserva che l’ordine conta davvero: Giorgio compare due volte, ma una volta al primo posto, come padre, e una volta al secondo posto, come figlio.

Proviamo ancora un’altra relazione: «genitore — figlio». Qui ce ne saranno di più, perché al primo posto può esserci uno qualsiasi dei genitori, sia il padre sia la madre, e al secondo posto uno qualsiasi dei figli, sia il figlio sia la figlia. Dobbiamo anche tenere conto che il nonno Massimo è genitore di Giorgio, ma non di Elena. Giorgio ed Elena sono invece entrambi genitori di Sofia e di Luca. Sofia e Luca non sono genitori di nessuno, perché hanno solo diciannove e tredici anni. Alla fine le coppie ordinate saranno queste: {(Massimo; Giorgio), (Giorgio; Sofia), (Giorgio; Luca), (Elena; Sofia), (Elena; Luca)}. Osserva che sia Giorgio sia Elena compaiono due volte — una volta come genitori della figlia Sofia e una volta come genitori di Luca.

L’ultimo tranello sulle relazioni binarie. Prendiamo questa relazione: «fratello o sorella — fratello o sorella». Qui dobbiamo ricordare che nelle relazioni l’ordine conta, quindi se come risultato di questa relazione scrivessimo soltanto «Sofia — Luca», sarebbe sbagliato, perché si tratta di una coppia ordinata completamente diversa da «Luca — Sofia». Il risultato corretto è quindi: {(Sofia; Luca), (Luca; Sofia)}.

E ancora un brevissimo esempio di relazione ternaria: scrivi tutte le terne ordinate di questa relazione: «nonno — padre — figlio o figlia». Nel testo abbiamo un solo nonno e un solo padre, ma due discendenti. Non basta scrivere solo la terna con Sofia o solo quella con Luca, dobbiamo scriverle entrambe. Sarebbe diverso se alla fine, al posto di «figlio o figlia», ci fosse «figlio». Il risultato corretto è: {(Massimo; Giorgio; Sofia), (Massimo; Giorgio; Luca)}.

Definizione di relazione unaria

Proviamo a esplorare le relazioni più semplici, quelle unarie. Per relazione unaria intendiamo un insieme di elementi. L’insieme {2, 3} può rappresentare una relazione. Per esempio la relazione «essere un numero primo minore di cinque» oppure «essere un divisore non banale del numero sei», dipende dalla nostra interpretazione.

I lettori più attenti avranno notato che la seconda relazione è definita in modo un po’ strano. Dice che la relazione dovrebbe contenere i divisori non banali del numero sei e nell’insieme risultante abbiamo i numeri 2 e 3. Non ne manca qualcuno? I numeri 1 e 6 sono divisori banali e non ci interessano. Ma dovrebbero esserci anche i numeri negativi, cioè −2 e −3. L’insieme di tutti i divisori non banali del numero 6 è fatto così: {−3, −2, 2, 3}.

Come per le funzioni specifichiamo il dominio, così per una relazione specifichiamo l’insieme sostegno — l’insieme da cui scegliamo gli elementi della relazione. Negli esempi precedenti abbiamo specificato per esempio la famiglia in cui c’era il nonno Massimo ecc. Non abbiamo scelto i padri e i figli tra tutte le famiglie del mondo. Se come insieme sostegno specifichiamo l’insieme dei numeri naturali, la nostra relazione andrà bene.

A questo punto possiamo passare alla definizione di relazione. Se come insieme sostegno abbiamo i numeri naturali, quali elementi può contenere la nostra relazione unaria? Di nuovo soltanto numeri naturali. O tutti, o solo una parte. Possiamo quindi dire che la relazione sarà un sottoinsieme dell’insieme dei numeri naturali. In generale, se abbiamo una relazione unaria R e un insieme sostegno M, vale R ⊆ M: la relazione R è un sottoinsieme dell’insieme M.

Definizione di relazione binaria

Come sarà per una relazione binaria? In una relazione binaria gli elementi della relazione R sono coppie ordinate. Ogni elemento della coppia può provenire da un insieme diverso. Possiamo avere la relazione «genitore — numero di figli». Il genitore si sceglierà dall’insieme delle persone, per esempio in Europa, e il numero di figli dall’insieme dei numeri naturali (zero compreso).

Come otteniamo da due insiemi l’insieme di tutte le coppie possibili? Con il prodotto cartesiano. Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {1, 2}, il prodotto cartesiano ci dà:

$$A\times B=\{(a;1),(a;2),(b;1),(b;2),(c;1),(c;2)\}$$

È l’insieme di tutte le coppie possibili che possiamo ottenere mettendo al primo posto un elemento dell’insieme A e al secondo posto un elemento dell’insieme B. Quindi, se abbiamo una relazione binaria R tra gli insiemi A e B, possiamo definire questa relazione come R ⊆ A × B.

Se manteniamo i precedenti insiemi A e B e definiamo tra di essi la relazione R così: «lettera — posizione della lettera nell’alfabeto», la relazione sarà fatta così: R = {(a; 1), (b; 2)}. La lettera c non ci sarà, perché nel prodotto cartesiano A × B non compare la coppia (c; 3).

Definizione di relazione n-aria

Infine definiamo la relazione n-aria generale R tra gli insiemi M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

La relazione è quindi un sottoinsieme di n-uple ordinate. Un esempio di relazione binaria è la relazione «minore di», cioè <. Possiamo definirla tra insiemi numerici, per esempio tra i numeri naturali diversi da zero. Allora la relazione sarà fatta così:

$$<\subseteq {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$$

(Non spaventarti se il simbolo < sta in modo così strano a sinistra. È soltanto il nome della relazione. Potrebbe esserci di nuovo R, dove R rappresenterebbe la relazione «minore di».)

In concreto la relazione sarebbe fatta così:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),\dots \\ & & (2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\dots \\ & & (3;4),(3;5),(3;6),(3;7),\dots \\ & & (4;5),(4;6),(4;7),(4;8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

È l’insieme delle coppie ordinate tali che il numero naturale al primo posto è minore del numero naturale al secondo posto.

Notazione delle relazioni

Le relazioni di solito si indicano con lettere maiuscole R, S ecc. oppure con simboli consolidati: <, ⊆, = ecc. Dalle definizioni precedenti si vede che una relazione è in realtà un insieme. D’altronde quasi tutto in matematica è in fondo un insieme :-). Perciò, se vogliamo dire che un elemento r appartiene alla relazione R, possiamo scrivere r ∈ R.

Per esempio possiamo scrivere (1; 3) ∈ < e significa che la coppia di numeri uno e tre appartiene alla relazione «minore di». Per le relazioni binarie si incontra spesso una scrittura più comoda, che conosci già dalla scuola primaria. Invece di usare l’operatore di appartenenza ∈, scriviamo semplicemente 1 < 3. Allo stesso modo di solito non scriviamo (5; 5) ∈ =, ma scriviamo 5 = 5.