Matrici

Una matrice su un campo P è una funzione {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Di solito una matrice si indica con una lettera maiuscola: A = (…). E ora in parole semplici.

Concetti di base

Una matrice è, in breve, una specie di tabella di n colonne e m righe; attenzione però, perché non tutti usano le stesse lettere per indicare righe e colonne. In ogni cella della tabella c’è un numero o un’altra espressione. Una matrice non deve essere per forza numerica, anche se all’inizio con ogni probabilità non incontrerai altri tipi di matrici. Ecco un esempio di matrice:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Questa matrice ha due righe e tre colonne. Gli elementi della matrice si indicano con gli indici e, al posto della lettera maiuscola, si usa la lettera minuscola: a₁₁ = 0 oppure a₂₃ = 51. Il primo indice indica la riga e il secondo la colonna.

Tipi particolari di matrici

Le matrici possono avere proprietà diverse e alcune matrici particolari hanno addirittura un nome proprio.

Una matrice quadrata è una matrice che ha lo stesso numero di righe e di colonne. Se la matrice non è quadrata, è rettangolare. Esempio di matrice quadrata:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Una matrice nulla è una matrice che ha uno zero in ogni posizione. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Una matrice identità è una matrice quadrata che ha 1 sulla diagonale principale e 0 in tutte le altre posizioni. La diagonale principale è per così dire la «diagonale» da sinistra a destra. In breve, sono i numeri nelle posizioni in cui i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Una matrice a scala è una matrice che ha le righe nulle in fondo (oppure non ne ha affatto) e in cui ogni riga non nulla inizia con più zeri della riga precedente. Queste sono tutte matrici a scala:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

La matrice trasposta di una matrice A è la matrice A^T per cui vale $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , cioè l’elemento che si trovava nella i-esima riga e nella j-esima colonna si troverà nella matrice trasposta nella j-esima riga e nella i-esima colonna. In breve, scambi le righe della matrice con le colonne.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Una matrice simmetrica è una matrice quadrata A che soddisfa l’uguaglianza A = A^T. Gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale sono uguali. Possiamo quindi scrivere a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Una matrice antisimmetrica è quasi come una matrice simmetrica, solo che gli elementi dall’altra parte hanno il segno opposto: A = −A^T. Per questo motivo gli elementi sulla diagonale principale devono essere nulli, perché a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Una matrice diagonale è una matrice che ha zeri dappertutto tranne che sulla diagonale principale. Più precisamente, in tutte le altre posizioni devono esserci degli zeri, mentre gli elementi sulla diagonale principale non sono specificati.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Operazioni di base con le matrici

Le matrici si possono sommare, si possono moltiplicare per un numero e si possono anche moltiplicare tra loro.

L’addizione di matrici è piuttosto intuitiva. Se le matrici sono dello stesso tipo (= stesso numero di colonne e di righe), la matrice risultante avrà nelle stesse posizioni le somme dei numeri che stanno nelle posizioni corrispondenti delle matrici di partenza. Cioè, se sommiamo le matrici A + B = C, allora vale a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

L’addizione di matrici è ovviamente commutativa e associativa. A + B = B + A e A + (B + C) = (A + B) + C.

Anche la moltiplicazione di una matrice per un numero è intuitiva. Prendi il numero e lo moltiplichi per ogni elemento della matrice, niente di più. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Moltiplicazione di matrici

La moltiplicazione di matrici è un po’ più complicata, perché non è intuitiva come ci si potrebbe aspettare. Non basta moltiplicare gli elementi corrispondenti. Prima di tutto le matrici devono soddisfare questa condizione: il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda. Il resto può essere qualsiasi. Ora possiamo definire il prodotto (n è il numero di colonne della prima matrice):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Non è molto chiaro, vero? Proviamo a spiegarlo anche ai meno svegli :-). Prendi la prima riga della prima matrice e la prima colonna della seconda. Moltiplichi il primo elemento per il primo elemento, sommi il prodotto del secondo elemento per il secondo elemento, e così via. In questo modo ottieni nella nuova matrice C l’elemento c₁₁. Il modo migliore è un esempio. Moltiplichiamo queste due matrici:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Scegliamo la prima riga della prima matrice e la prima colonna della seconda:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Per chiarezza chiamiamo C la nuova matrice. Per ottenere il primo elemento di questa matrice dobbiamo calcolare: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Ricorda che nell’indice il primo posto spetta alla riga, poi alla colonna. Sostituendo otteniamo: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Il primo elemento vale 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

L’elemento successivo, c₁₂, si ottiene nello stesso modo, prendendo però la prima riga e la seconda colonna. Con questo calcolo, un po’ lungo, otteniamo sempre l’elemento che riga e colonna hanno in comune. La prima riga e la prima colonna hanno in comune l’elemento di posto c₁₁, la prima riga e la seconda colonna l’elemento c₁₂. Lo mostra bene la figura seguente:

Prodotto di matrici

Ora calcoliamo rapidamente il resto della matrice:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Scriviamo questi numeri nella matrice:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Puoi verificare la correttezza del risultato, per esempio, in Excel o in OpenOffice Calc, che contengono funzioni per lavorare con le matrici.

Ora qualche informazione generale sulla moltiplicazione di matrici. Innanzitutto la moltiplicazione di matrici non è commutativa. In generale non vale A · B = B · A, anche se naturalmente può capitare che valga. Ma la moltiplicazione di matrici è associativa. Rispetto all’addizione è inoltre distributiva: A (B + C) = AB + AC. Se moltiplichiamo due matrici a_ix · b_xn, la matrice risultante sarà di tipo i × n (avrà tante righe quante ne ha la prima matrice e tante colonne quante ne ha la seconda).

Esempi

Sono date queste tre matrici:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Calcola il prodotto delle matrici A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Calcola il prodotto delle matrici B · A.

Attenzione: la moltiplicazione di matrici non è commutativa, quindi non possiamo affermare con certezza che il risultato sarà uguale a quello precedente. Dobbiamo rifare tutto il calcolo:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Calcola il prodotto delle matrici A · C e C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Il secondo prodotto non si può calcolare, perché il numero di colonne della prima matrice è diverso dal numero di righe della seconda.

Operazioni elementari sulle matrici

Per lavorare con le matrici in modo efficiente dobbiamo definire alcune operazioni elementari. Anzitutto possiamo moltiplicare una riga o una colonna della matrice per un numero diverso da zero. La moltiplicazione agisce come la moltiplicazione di una matrice per un numero k, ma solo su quella riga o colonna.

La seconda operazione consiste nel sommare alla i-esima riga la j-esima riga moltiplicata per k. Lo stesso vale per le colonne. Sembra un po’ spaventoso, ma in realtà è semplice. Lo mostriamo per k = 1. Partiamo da questa matrice:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Ora sommiamo alla prima riga la seconda. Prendiamo quindi la seconda riga e sommiamo i numeri nelle posizioni corrispondenti ai numeri della prima riga. I numeri della seconda riga non cambiano, cambia solo la prima riga:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Ora possiamo continuare. Proviamo a sommare il doppio della prima riga alla terza riga. Prendiamo la prima riga della matrice appena ottenuta, la moltiplichiamo per due e otteniamo la riga (10; 14; 18), poi sommiamo questi numeri alla terza riga. Anche stavolta la prima riga non cambia, cambia solo la terza:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Adesso sommiamo ancora alla terza riga la somma della prima e della seconda riga. In sostanza non c’è niente di nuovo, perché se alla terza riga sommiamo prima la seconda e poi la prima, dobbiamo arrivare allo stesso risultato. La somma della prima e della seconda riga è: (5; 7; 9) + (4; 5; 6) = (9; 12; 15). La somma di questa riga con la terza è: (9; 12; 15) + (17; 22; 27) = (26; 34; 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

E ancora un’operazione sulle colonne (di solito si usano meno spesso, perché sono meno chiare). Sommiamo la prima colonna alla seconda:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Infine moltiplichiamo la seconda riga per due:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Dipendenza lineare

Spieghiamo ora che cosa sono le righe o le colonne dipendenti. Una riga è linearmente dipendente se si può esprimere come combinazione lineare delle altre righe della matrice. In breve, se riesci a sommare le righe in modi diversi fino a ottenere la riga cercata, quella riga è linearmente dipendente. Esempio:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Se prendi il doppio della prima riga e la seconda riga, ottieni la terza riga. Se sottrai questa combinazione dalla terza riga, ottieni una riga nulla (una riga che contiene solo zeri). Questa riga è dipendente. Eseguiamo quindi le operazioni così (moltiplichiamo la prima riga per due, la sommiamo alla seconda, la sottraiamo dalla terza):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Data una matrice A con n righe, dove A_i indica la i-esima riga, diciamo che la matrice non contiene righe linearmente dipendenti se:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

se e solo se α₁, α₂, …, α_n = 0. Lo zero a destra dell’uguale rappresenta la riga nulla. Cioè, se l’unica soluzione di questa equazione è quella nulla. Se troviamo un’altra soluzione, allora la matrice contiene una riga linearmente dipendente. Lo stesso vale per le colonne. Per la matrice precedente vale:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Quindi i valori di alfa sono α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Il numero di righe o colonne indipendenti è il rango della matrice.

Matrici invertibili e matrici singolari

Una matrice si dice invertibile (o non singolare) se ha rango massimo (cioè se non contiene alcuna riga linearmente dipendente) e se è una matrice quadrata. Una matrice quadrata si dice singolare se non è invertibile (cioè se contiene almeno una riga linearmente dipendente). Questi due concetti sono piuttosto importanti, perché molte definizioni si basano su di essi. Molte cose sono definite solo se la matrice è invertibile.