Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale, detto anche spazio lineare, è un insieme di elementi che devono soddisfare alcune proprietà, grazie alle quali gli elementi dell’insieme, che chiamiamo vettori, si comportano «bene».

Esempio di spazio vettoriale

Prima di dare la definizione di spazio vettoriale, vediamo un esempio che dovresti già conoscere dalle scuole superiori, solo che forse non sapevi che si tratta di uno spazio vettoriale. Sono i classici vettori nel piano.

Per vettore nel piano intendiamo una coppia ordinata (a; b), dove a, b ∈ ℝ. Sono delle coordinate qualsiasi nello spazio ℝ² (con questo intendiamo il prodotto cartesiano ℝ × ℝ). Un vettore di questo tipo possiamo rappresentarlo con una freccia che va dal punto (0; 0) al punto (a; b). Il vettore (2; 3) si presenta così:

Sappiamo che i vettori si sommano secondo la regola (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). La somma dei vettori (2; 3) + (4; 1) è quindi uguale al vettore (2 + 4; 3 + 1) = (6; 4). Graficamente la rappresentiamo così:

Possiamo inoltre calcolare il multiplo k di un vettore, dove k è un numero reale. Il multiplo k si scrive k · (a; b). Il risultato è un nuovo vettore, definito come k · (a; b) = (k · a; k · b). Graficamente succede che il vettore si «allunga», si «accorcia» oppure cambia verso. Se abbiamo il vettore u = (2; 3), i vettori 2 · u, $\frac{1}{2}u$ e −1 · u si presentano così:

Che l’insieme di tutti i vettori ℝ² con le operazioni così definite formi uno spazio vettoriale lo dimostreremo più avanti. Prima diamo la definizione di spazio vettoriale e mostriamo le singole proprietà proprio sullo spazio vettoriale ℝ².

Definizione di spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale (o spazio lineare) è un insieme non vuoto V i cui elementi chiamiamo vettori. Sull’insieme devono inoltre esistere due operazioni: la somma di vettori, cioè una funzione V × V ⟶ V, e la moltiplicazione di un vettore per un numero reale, cioè una funzione ℝ × V ⟶ V. (In generale, al posto dei numeri reali si può usare un qualsiasi campo, ma ne parleremo in articoli successivi.) La somma di vettori si indica con il segno +, la moltiplicazione con ·. Queste due operazioni devono soddisfare le condizioni seguenti. Cioè, per ogni x, y, z ∈ V e per ogni a, b ∈ ℝ deve valere (osserva che i vettori x, y, z sono in grassetto, mentre i numeri a, b sono in carattere normale):

1. x + y = y + x: la somma di vettori è commutativa. Tornando all’esempio dei vettori in ℝ², è indifferente sommare i vettori così (2; 3) + (4; 1) oppure al contrario: (4; 1) + (2; 3).

• (x + y) + z = x + (y + z): la somma di vettori è associativa. Anche qui possiamo sostituire dei vettori qualsiasi di ℝ² e vedremo che il risultato torna.
• a · (b · x) = (a · b) · x: legge associativa della moltiplicazione. Per i nostri vettori vale che 4 · (5 · (6; 7)) è uguale a (4 · 5) · (6; 7). Entrambi gli esempi portano al vettore (20 · 6; 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: legge distributiva per i vettori di V. Anche qui vediamo che 2 · ((2; 3) + (4; 5)) è uguale a 2 · (2; 3) + 2 · (4; 5). Entrambe le espressioni portano al vettore (2 · 6; 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: distributività rispetto alla somma di numeri.
• 1 · x = x: se moltiplichiamo un vettore qualsiasi per il numero reale 1, il valore del vettore non cambia. Nel nostro caso vale che 1 · (5; 8) = (5; 8).
• Esiste un elemento 0 ∈ V tale che 0 · x = 0. Lo zero in grassetto, cioè 0, è il cosiddetto vettore nullo, mentre lo zero in carattere normale 0 è semplicemente il numero zero. Questo punto dice che in V deve esistere un vettore che otteniamo moltiplicando un qualsiasi vettore x ∈ V per il numero zero. Per il nostro spazio ℝ² è il vettore (0; 0), perché per tutti i vettori (a; b) ∈ ℝ² vale che 0 · (a; b) = (0; 0).

Queste sono tutte le proprietà che deve soddisfare uno spazio vettoriale (lineare) V. Se moltiplichiamo un vettore per un numero reale a, questo numero a si chiama scalare. Parliamo quindi spesso di moltiplicazione per uno scalare, intendendo un’espressione della forma a · x, dove a è un numero reale e x è un vettore.

Il doppio significato del segno più +

Attenzione: in alcune espressioni il segno più + può avere un doppio significato. Per esempio, nel punto sulla distributività rispetto alla somma di numeri abbiamo l’uguaglianza (a + b) · x = a · x + b · x. Il segno + a sinistra dell’uguale somma numeri reali, perché sia a sia b sono numeri reali, mentre a destra somma vettori, perché il risultato del prodotto a · x è un vettore.

Questo riconoscimento automatico si usa spesso in matematica: dal contesto è sempre chiaro di quale somma si tratta. Se abbiamo l’espressione x + y e x, y sono vettori, useremo la somma di vettori. Se x, y fossero numeri, useremmo la somma ordinaria. Se fossero matrici, useremmo la somma di matrici, e così via.

Potremmo usare per la somma di vettori un segno diverso, per esempio ⊕. Allora la distributività rispetto alla somma di numeri si scriverebbe così: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Il + normale indica qui la somma dei numeri reali a, b, il segno ⊕ indica la somma di vettori. Per lo più, però, per entrambe le somme si usa lo stesso segno + e il suo significato si riconosce dal contesto. Lo stesso vale per il segno ·.

Lo spazio vettoriale R²

Nella prima parte abbiamo definito lo spazio vettoriale V = ℝ²; ora dimostriamo che si tratta davvero di uno spazio vettoriale. Per prima cosa dobbiamo verificare che le operazioni di somma e di moltiplicazione siano definite correttamente. La somma deve sommare due vettori e il risultato deve essere un nuovo vettore. Questo è soddisfatto, perché (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Sommando due vettori di ℝ² si ottiene un nuovo vettore di ℝ².

Se, per esempio, definissimo la somma dei vettori come somma dei loro moduli, non sarebbe una somma valida in uno spazio vettoriale. Il modulo del vettore (a; b) si calcola come $\sqrt{a^2+b^2}$. Il risultato della somma (3; 4) + (5; 12) sarebbe quindi il numero $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, che non è un vettore dello spazio ℝ².

Dobbiamo poi verificare che anche la moltiplicazione sia definita correttamente. La moltiplicazione moltiplica un numero reale per un vettore di ℝ² e il risultato deve essere un nuovo vettore di ℝ². Anche questo è soddisfatto, perché la moltiplicazione per uno scalare è definita come k · (a; b) = (k · a; k · b).

Verifichiamo ora, una dopo l’altra, tutte e 7 le proprietà che deve soddisfare uno spazio vettoriale. Al posto dei singoli vettori x, y sostituiremo i nostri vettori (a; b), (c; d), … a seconda di come ci fa comodo: non spaventarti.

1. x + y = y + x, commutatività della somma di vettori. La somma di vettori che abbiamo definito è commutativa? Sì, perché è definita come (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Se a sinistra scambiamo i vettori, otteniamo: (c; d) + (a; b) = (c + a; d + b). Poiché c + a è la somma di due numeri reali e la somma di numeri reali è un’operazione commutativa, vale c + a = a + c, e lo stesso per la seconda coppia: d + b = b + d. Vale quindi (a + c; b + d) = (c + a; d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Sarà un gioco con le parentesi. In sostanza sono semplici passaggi, solo che risulteranno poco chiari perché le parentesi sono davvero tante. Proviamo a calcolare questa somma di vettori:

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c;b+d)+(e;f)=((a+c)+e;(b+d)+f)$$

Poiché a, c, e sono numeri reali e la somma è associativa sui numeri reali, vale (a + c) + e = a + c + e. Lo stesso per la seconda coordinata. Possiamo quindi scrivere che

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c+e;b+d+f)$$

Ora proviamo a sommare gli stessi vettori con le parentesi disposte diversamente:

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a;b)+(c+e;d+f)=(a+(c+e);b+(d+f))$$

Anche qui vale a + (c + e) = a + c + e, quindi possiamo scrivere che

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a+c+e;b+d+f)$$

Vediamo così che, comunque mettiamo le parentesi nella somma di tre vettori, arriviamo sempre allo stesso vettore (a + c + e; b + d + f). L’operazione di somma in ℝ² è quindi associativa e soddisfa anche la seconda proprietà degli spazi vettoriali.

Puoi provare a sostituire alle variabili a, …, f dei numeri concreti e vedrai che i conti tornano.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Anche qui scriviamo per prima cosa il membro di sinistra dell’uguaglianza, sostituendo a x il vettore (c; d):

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=a\cdot (b\cdot c;b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c);a\cdot (b\cdot d))$$

Poiché la moltiplicazione di numeri reali è associativa, otteniamo l’uguaglianza a · (b · c) = a · b · c. Possiamo quindi scrivere:

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Scriviamo ora il membro di destra, cioè (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=((a\cdot b)\cdot c;(a\cdot b)\cdot d)$$

Anche qui vale (a · b) · c = a · b · c, quindi:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Vediamo che entrambi i membri portano allo stesso vettore (a · b · c; a · b · d), quindi l’uguaglianza è valida.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Il procedimento sarà lo stesso: scriviamo il membro di sinistra:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=a\cdot \left((c+e;d+f)\right)=(a\cdot (c+e);a\cdot (d+f))$$

Poiché a, c, e sono numeri reali, per i quali vale la proprietà distributiva, otteniamo l’uguaglianza a · (c + e) = ac + ae. Possiamo quindi scrivere:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=(ac+ae;ad+af)$$

Il membro di destra:

$$a\cdot (c;d)+a\cdot (e;f)=(ac;ad)+(ae;af)=(ac+ae;ad+af)$$

Vediamo che il membro di sinistra e quello di destra, dopo i passaggi, sono uguali.

• (a + b) · x = a · x + b · x: procederemo in modo molto simile al passaggio precedente. Trasformiamo il membro di sinistra:

$$(a+b)\cdot (c;d)=((a+b)\cdot c;(a+b)\cdot d)=(ac+bc;ad+bd)$$

Membro di destra:

$$a\cdot (c;d)+b\cdot (c;d)=(ac;ad)+(bc;bd)=(ac+bc;ad+bd)$$

• 1 · x = x: non credo che qualcuno sia riuscito a leggere fino a questo punto, ma pazienza, andiamo avanti :-). Questo punto, almeno, è semplice. Dobbiamo verificare che 1 · (a; b) = (a; b). Questo vale sicuramente, perché

$$1\cdot (a;b)=(1\cdot a;1\cdot b)=(a;b)$$

• Esiste un elemento 0 ∈ ℝ² tale che 0 · x = 0: è il vettore (0; 0). Per esso vale 0 · (a; b) = (0; 0), perché

$$0\cdot (a;b)=(0\cdot a;0\cdot b)=(0;0)$$

Quanto è grande uno spazio vettoriale

Qual è il più piccolo spazio vettoriale possibile? Dalla definizione sappiamo che uno spazio vettoriale è un insieme non vuoto V, quindi il caso più piccolo che possiamo considerare è un insieme con un solo vettore. Dal settimo punto della definizione sappiamo che lo spazio deve contenere il vettore nullo. L’insieme V = {0} è quindi un candidato a essere il più piccolo spazio vettoriale.

La somma possiamo definirla come 0 + 0 = 0 e la moltiplicazione come a · 0 = 0. Qualunque cosa facciamo, otteniamo sempre il vettore nullo. Evidentemente questo insieme con un solo elemento soddisfa tutte e sette le proprietà richieste.

Sappiamo già che esiste uno spazio vettoriale con un solo elemento. Esiste uno spazio vettoriale con due elementi? Possiamo definire sull’insieme V = {x, 0} le operazioni di somma e di moltiplicazione in modo che ne risulti uno spazio vettoriale?

La risposta è no: non esiste uno spazio vettoriale con due elementi. E non esiste nemmeno nessun altro spazio vettoriale finito, a parte quello con un solo elemento citato sopra. Tutti gli altri spazi vettoriali sono infiniti. Se però, come accennato, al posto dell’insieme dei numeri reali usassimo un altro campo finito, potremmo ottenere anche altri spazi vettoriali finiti.

Riepilogo

La definizione di spazio vettoriale non è del tutto semplice: i vettori e le operazioni devono soddisfare ben 7 condizioni, che non sono poche. D’altra parte, queste condizioni sono abbastanza banali e comprensibili: servono a far sì che con i vettori si lavori bene. Grazie alle condizioni definite possiamo sommare i vettori di uno spazio vettoriale senza dover verificare se il risultato della somma non sia per caso un vettore di un altro spazio vettoriale. Allo stesso modo possiamo moltiplicare un vettore per un numero reale e otteniamo sempre un vettore dello stesso spazio. Che i vettori e le loro operazioni rispettino le leggi commutativa, associativa e distributiva è anche abbastanza naturale.

Potremmo definire lo spazio vettoriale anche in modo più generale. Al posto dell’insieme dei numeri reali possiamo prendere un qualsiasi campo. Ma ne parleremo in articoli successivi.