Matrice inversa

La matrice inversa è una matrice definita sulle matrici quadrate invertibili. Il prodotto di una matrice per la sua inversa dà la matrice identità.

Definizione

La matrice inversa si può calcolare solo a partire da una matrice quadrata; per una matrice rettangolare l’inversa non è definita. Inoltre la matrice inversa di una matrice A (si indica con A⁻¹) esiste solo se la matrice è invertibile (non ha righe linearmente dipendenti). In tal caso è determinata in modo univoco. Le due proprietà principali della matrice inversa sono:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

E soprattutto la proprietà più importante della matrice inversa (che è anche la sua definizione):

$$A\cdot A^{-1}=I$$

I è la matrice identità.

Come calcolare la matrice inversa

Passiamo al metodo di calcolo della matrice inversa. L’algoritmo più semplice è il metodo di eliminazione di Gauss, che consiste nel trasformare la matrice A nella matrice identità: accanto a essa scrivi la matrice identità e su quest’ultima esegui le stesse operazioni che esegui su A. Alla fine del procedimento a sinistra hai la matrice A trasformata nella matrice identità e a destra la matrice inversa. Proviamo con un semplice esempio:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Con un’occhiata veloce si vede che la matrice è invertibile, quindi ha senso calcolare la matrice inversa. Quando si calcola la matrice inversa, di solito si scrive così:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Ora trasformiamo la matrice di sinistra nella matrice identità ed eseguiamo le stesse operazioni sulla matrice di destra. Sommiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per −3. Prima la matrice di sinistra:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Ora sommiamo alla seconda riga della matrice di destra la prima riga della matrice di destra moltiplicata per −3:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Ora dobbiamo ottenere uno zero nella posizione a₁₂. Basta sommare la seconda riga alla prima. Questa volta eseguo entrambe le operazioni in un solo passaggio:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Adesso ci liberiamo del «meno due» dividendo l’intera riga per meno due:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

La matrice inversa risultante è:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Se vuoi verificare che la matrice inversa calcolata sia corretta, moltiplicala per la matrice di partenza:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Per controllare puoi usare WolframAlpha.

Calcolo con il determinante

La matrice inversa si può calcolare anche con il determinante. Se A è una matrice invertibile, la matrice inversa A⁻¹ ha elementi $a_{ij}^{-1}$ uguali a:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

A sinistra abbiamo i,j, ma al numeratore abbiamo j,i: fai attenzione, non è un errore che siano scambiati. Al numeratore c’è la matrice A_j,i, cioè la sottomatrice di A che si ottiene eliminando da A la j-esima riga e la i-esima colonna. Quindi, se

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

allora vale:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Se non ti piace che gli indici siano scambiati, possiamo scrivere anche così:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Cioè, se non scambi gli indici, calcoli la trasposta della matrice inversa. Se trasponi di nuovo questa matrice trasposta, ottieni la matrice inversa.

Calcolare con questo metodo è di solito lungo, e serve soprattutto per l’elaborazione al computer, perché è molto diretto. Nell’esempio proviamo a calcolare solo due numeri. Prendiamo questa matrice:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Come prima cosa calcoliamo il determinante dell’intera matrice, che si usa al denominatore della frazione:

$$det(A)=-1$$

Ora calcoliamo il primo elemento della matrice inversa. Lo indichiamo con $a_{11}^{-1}$. Sarà uguale a:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Ci serve la sottomatrice A_1,1. Eliminando la prima riga e la prima colonna otteniamo:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Ora dobbiamo calcolare il determinante di questa matrice:

$$det(A_{1,1})=8$$

E ora possiamo finalmente sostituire nella formula:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Ed ecco il primo risultato per la matrice inversa.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Il secondo numero si ottiene così:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Il determinante della sottomatrice sarà uguale a

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

E sostituendo otteniamo:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Un altro tassello del puzzle:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

E così via, e così via.