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Campi

Per capire la spiegazione che segue non ti servono competenze o conoscenze matematiche particolari. Basta conoscere i fondamenti della matematica delle scuole superiori e avere voglia di imparare qualcosa di nuovo.

Uno spauracchio chiamato campo algebrico

Se già il nome campo algebrico ti spaventa, sappi che non c’è davvero nulla da temere. Un campo è in realtà una cosa molto semplice, se lo si guarda dalla parte giusta.

Un campo algebrico è un insieme qualsiasi più due operazioni binarie che soddisfano certe condizioni. Tutto qui. Né più né meno. Come vedi, niente di pericoloso o di spaventoso. E ora che lo sappiamo, possiamo avvicinarci senza paura.

L’insieme degli elementi del campo

Chiamiamo T il nostro insieme qualsiasi e i suoi elementi li chiameremo elementi del campo. Fidati: l’insieme degli elementi del campo può essere davvero qualsiasi. Può essere l’insieme di tutti i numeri pari, l’insieme di tutti i calzini a cui manca il compagno oppure la tua collezione di elefanti di peluche. Forse l’unica condizione è che l’insieme T non sia vuoto. Altrimenti ci divertiremmo ben poco.

Operazione binaria

Se non ti è subito chiaro che cosa sia un’operazione binaria, puoi immaginarla come un piccolo macinino. Ci metti dentro due elementi (da qui il «binaria» nel nome) di un insieme, giri piano la manovella e dal macinino esce un altro elemento del tuo insieme. Una bella operazione binaria è, per esempio, la divisione. Vuoi sapere quanto fa 10 / 5? Prendi l’operazione binaria della divisione (il macinino), in cui il tuo insieme è l’insieme dei numeri reali. Versa nel macinino prima il dieci e poi il cinque, gira la manovella e, meraviglia delle meraviglie, esce il due.

Le nostre due operazioni le chiameremo addizione e moltiplicazione e le indicheremo con ⊕ e ⊗. Non lasciarti ingannare dal nome: con l’addizione e la moltiplicazione che usiamo di solito queste operazioni possono avere poco in comune. Succede proprio perché gli elementi del campo possono essere oggetti qualsiasi. E agli elefanti di peluche o ai calzini la «nostra» addizione e moltiplicazione non si possono applicare.

Operazioni su un campo

Le operazioni ⊕ e ⊗ devono soddisfare certe condizioni. Non possiamo definirle in modo del tutto arbitrario. Lo scopo di introdurre queste operazioni è infatti generalizzare la normale addizione e moltiplicazione che usiamo con i numeri. Vogliamo poterle applicare agli elementi del campo che, come già sappiamo, possono essere oggetti qualsiasi, non solo numeri. Eppure vogliamo che ⊕ e ⊗ conservino il senso di fondo dell’addizione e della moltiplicazione. Lo otteniamo introducendo dieci condizioni che queste operazioni devono soddisfare perché la nostra struttura sia un campo. Chiameremo queste condizioni assiomi del campo. Eccole:

  1. Commutatività dell’addizione — Per due elementi qualsiasi a, b del campo T deve valere a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Associatività dell’addizione — Per tre elementi qualsiasi a, b, c del campo T deve valere (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Esistenza dello zero (elemento neutro dell’addizione) — Deve esistere un elemento del campo T, che indichiamo con 0 (attenzione, da non confondere con il numero 0), con questa proprietà: per ogni elemento a del campo T vale a ⊕ 0 = a.
  • Esistenza dell’elemento opposto — Per ogni elemento a del campo T deve esistere un elemento del campo T, che indichiamo con -a, con questa proprietà: a ⊕ −a = 0.
  • Commutatività della moltiplicazione — Per due elementi qualsiasi a, b del campo T deve valere a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Associatività della moltiplicazione — Per tre elementi qualsiasi a, b, c del campo T deve valere (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Esistenza dell’unità (elemento neutro della moltiplicazione) — Deve esistere un elemento del campo T, che indichiamo con 1 (attenzione, da non confondere con il numero 1), con questa proprietà: per ogni elemento a del campo T vale a ⊗ 1 = a.
  • Esistenza dell’elemento inverso — Per ogni elemento a del campo T diverso da 0 deve esistere un elemento del campo T, che indichiamo con a−1, con questa proprietà: a ⊗ a−1 = 1.
  • Distributività — Per tre elementi qualsiasi a, b, c del campo T deve valere a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Non banalità — Lo zero e l’unità non possono coincidere. Cioè 0 ≠ 1.

Per chi volesse esercitarsi nel formalismo matematico, qui sotto ho scritto gli assiomi del campo nel modo in cui si scrivono in gergo matematico.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Forse ora pensi che gli assiomi siano spaventosamente tanti. Ma sono tutti facili da capire, se ci rendiamo conto di che cosa significano. I primi quattro descrivono le proprietà abituali dell’addizione, i quattro successivi le proprietà abituali della moltiplicazione, e sono molto simili ai primi quattro. Il nono assioma dice in che rapporto stanno tra loro addizione e moltiplicazione. Solo il decimo è una questione piuttosto tecnica, che impedisce al campo di avere proprietà strane.

Osserva con quanta eleganza abbiamo evitato di introdurre la sottrazione e la divisione. Queste operazioni si definiscono sommando l’elemento opposto e moltiplicando per l’elemento inverso. Per esempio 4 − 2 è solo un’abbreviazione di 4 + (−2) e 4 / 2 è solo un’abbreviazione di 4 · 2−1.

Una rassegna di campi

Ora abbiamo introdotto formalmente il concetto di campo algebrico. Se volessimo esprimere in modo intuitivo che cos’è un campo, potremmo dire che è una struttura che ci permette di sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere oggetti qualsiasi su cui riusciamo a definire queste operazioni, e di farlo in modo simile a come svolgiamo queste operazioni nell’aritmetica elementare.

Il nostro primo campo

Dopo aver inventato e descritto così bene i campi, costruiamone uno vero. Per prima cosa scegliamo l’insieme degli elementi del campo. Per ora non facciamo troppi esperimenti con elefanti di peluche o calzini e scegliamo come elementi del campo dei numeri naturali. Per renderci la vita davvero facile, prendiamo solo i numeri 0, 1, 2, 3, 4. Il nostro insieme T sarà quindi così:

T={0,1,2,3,4}

Ora resta solo da definire con un po’ di furbizia le operazioni ⊕ e ⊗. Ci aiutiamo con l’addizione e la moltiplicazione che già conosciamo dall’aritmetica, modificandole un po’ perché funzionino nel nostro campo.

  • Operazione ⊕ La somma di due elementi a ⊕ b si ottiene calcolando il resto della divisione per cinque della somma a + b . Le addizioni nel nostro campo saranno quindi così: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 ecc.
  • Operazione ⊗ Il prodotto di due elementi a ⊗ b si ottiene calcolando il resto della divisione per cinque del prodotto ab . Le moltiplicazioni nel nostro campo saranno quindi così: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    ecc.

Ed ecco fatto. Ora abbiamo un campo a tutti gli effetti. Resta da verificare che valgano tutti gli assiomi, per essere sicuri di aver costruito davvero un campo e non un pasticcio.

  • La commutatività e l’associatività dell’addizione e della moltiplicazione sai sicuramente verificarle da solo, e lo stesso vale per la distributività.
  • Dal modo in cui abbiamo definito l’addizione e la moltiplicazione segue anche che esistono lo zero (nel nostro caso è, guarda caso, proprio il numero 0) e l’unità (nel nostro caso 1), e che sono diversi tra loro.
  • Ora resta da verificare soltanto l’esistenza dell’elemento opposto e dell’elemento inverso. Vediamo tutti che per ogni numero dell’insieme {0, 1, 2, 3, 4} esiste un numero dello stesso insieme tale che il risultato della loro somma sia zero oppure cinque (cioè, nel nostro campo, 0).
  • Lo stesso vale per la moltiplicazione: per ogni numero diverso da zero di questo insieme esiste un numero con cui il prodotto, diviso per 5, dà resto 1 (cioè, nel nostro campo, 1). Per esempio il numero 4 ha come elemento inverso 4, perché 4 · 4 = 16 e dividendo per 5 otteniamo resto 1. Prova a trovare gli altri elementi inversi!

Esempi di altri campi

Poco fa abbiamo costruito un campo con cinque elementi. Si scopre che nello stesso modo si possono costruire altri campi in cui il numero degli elementi è un numero primo. Questi campi si chiamano campi delle classi di resto e si indicano con Zp, dove p è il numero degli elementi del campo. Sono usatissimi sia in matematica e in informatica sia, naturalmente, negli esercizi dei compiti in classe.

Si possono costruire anche campi con un numero di elementi non primo? Sì, ma non più nel modo che ti ho appena mostrato. Perché? Immagina un campo costruito con il procedimento descritto sopra che abbia soltanto quattro elementi. In un tale campo vale 2 ⊗ 2 = 0. Quindi il prodotto di due numeri diversi da zero è zero. In un campo questo non può succedere. Non è vietato direttamente dagli assiomi del campo, ma se ne deduce abbastanza facilmente. Si scopre però che se al posto dei numeri come elementi del campo si usano dei polinomi, si possono costruire anche campi il cui numero di elementi è una potenza di un numero primo. Quindi un campo con quattro elementi esiste, perché quattro è una potenza di due.

Naturalmente esistono anche campi con infiniti elementi. Per esempio l’insieme dei numeri reali con la solita addizione e moltiplicazione forma un campo. Questo vale non solo per i numeri reali, ma anche per i razionali e per i complessi. I numeri naturali e gli interi non formano un campo, perché nei naturali mancano gli elementi opposti e negli interi gli inversi.

E il meglio viene alla fine. Nessuno ci impone che i campi siano formati da numeri, polinomi o comunque da oggetti matematici. Come ho già detto, puoi costruire un campo di calzini, di elefanti di peluche ecc. L’unico problema sarà forse come definire l’addizione e la moltiplicazione sugli elefanti. La cosa interessante è che non riuscirai mai a costruire un campo che contenga sei calzini, perché sei non è né un numero primo né una potenza di un numero primo. Ma puoi tranquillamente costruire un campo che conta diciassette calzini, numerarli (il calzino bianco sarà 0, quello nero 1, quello verde 2 ecc.) e sommarli poi come abbiamo sommato noi nel campo delle classi di resto.

E a che cosa serve tutto questo?

Se sei arrivato a leggere fin qui, forse ti chiedi: a che cosa mai ci serve una struttura così folle come il campo algebrico? Ebbene, i campi sono molto importanti, sia dal punto di vista teorico, perché descrivono e soprattutto generalizzano ciò che si potrebbe chiamare il calcolo, cioè l’aritmetica, sia dal punto di vista pratico, perché molti problemi matematici o informatici si risolvono più facilmente se li immaginiamo come calcoli in un campo. I campi finiti hanno per esempio una grande importanza per i codici dei CD o dei DVD. Per quanto riguarda poi l’algebra lineare in sé, i campi sono la pietra angolare di altre strutture più complesse e, proprio per questo, molto più utili e interessanti, come gli spazi vettoriali. Questi formano infatti una specie di fondamento di tutta l’algebra lineare.

L’autore di questo articolo è Lishaak.