Evenimentul contrar

Evenimentul contrar poate fi folosit uneori la calculul probabilității unui eveniment. Evenimentul contrar evenimentului A este evenimentul $\bar{A}$, care conține toate rezultatele posibile care nu se află în evenimentul A.

Definiție

Definițiile experimentului aleator și ale evenimentului sunt prezentate în capitolul despre probabilitate. Pe scurt: un experiment aleator este, de exemplu, aruncarea unui zar, mulțimea tuturor rezultatelor posibile conține rezultatele care pot apărea, adică în cazul aruncării unui zar este mulțimea ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, iar un eveniment este o submulțime a lui ω și poate fi „pe zar a apărut un număr impar”, adică A = {1, 3, 5}.

Dacă avem evenimentul A, rămânem la „pe zar a apărut un număr impar”, adică A = {1, 3, 5}, atunci prin eveniment contrar înțelegem evenimentul $\bar{A}=\omega \setminus A$. Sunt deci toate celelalte rezultate: cele care sunt în ω, dar nu sunt în A. În cazul nostru, când avem evenimentul „pe zar a apărut un număr impar”, evenimentul contrar ar fi „pe zar a apărut un număr par”. Evenimentul contrar evenimentului „apare numărul 2 sau 5” este „apare numărul 1, 3, 4 sau 6”.

Ca să rămânem la terminologia mulțimilor: dacă ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} și avem evenimentul A = {1, 2} („apare un număr mai mic decât trei”), atunci $\bar{A}=\omega \setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. În cuvinte l-am putea descrie ca „apare un număr mai mare decât doi”.

Pentru probabilitatea evenimentului contrar există o relație simplă: dacă probabilitatea evenimentului A este 25%, care este probabilitatea evenimentului $\bar{A}$? De fapt ne întrebăm care este probabilitatea ca evenimentul A să nu se producă. Evenimentul A se produce cu probabilitatea 25%, deci evenimentul A nu se produce cu probabilitatea 100 − 25 = 75%. Acest lucru este valabil întotdeauna, deci putem spune că evenimentul contrar $\bar{A}$ se produce cu probabilitatea 1 − P(A):

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Exemple rezolvate

1. Care este probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri să nu apară două șasuri? În capitolul despre probabilitate am calculat că există în total 36 de posibilități diferite la aruncarea a două zaruri. Acum ar trebui să calculăm câte dintre aceste posibilități nu conțin două șasuri. Putem merge pe drumul invers: calculăm câte perechi conțin două șasuri, calculăm probabilitatea acestui eveniment și apoi o scădem din unu.

   Există o singură pereche care conține două șasuri, (6, 6), deci probabilitatea acestui eveniment A este:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Probabilitatea evenimentului contrar $\bar{A}$, adică a evenimentului „nu apar două șasuri”, este atunci:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Care este probabilitatea ca la aruncarea a trei zaruri să apară cel puțin un șase? Și această problemă o putem rezolva direct și putem scrie toate aranjamentele în care a apărut un șase, două șasuri și trei șasuri. Dar putem s-o abordăm și altfel și să calculăm evenimentul contrar, adică „nu a apărut niciun șase”. Mai întâi calculăm câte posibilități există în total. Avem trei zaruri, pe fiecare pot apărea numerele de la 1 la 6, ceea ce dă în total 6³ = 216 posibilități.

   Acum trebuie să numărăm posibilitățile în care nu există niciun șase. Pe fiecare zar trebuie deci să apară un număr de la 1 la 5, așadar există în total 5³ = 125 posibilități care nu conțin numărul 6. Acum înlocuim în formulă:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Acesta a fost evenimentul A – „nu a apărut niciun șase”. Noi vrem însă evenimentul contrar: „a apărut cel puțin un șase”. Înlocuim deci în formulă:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. La un examen de matematică, un elev extrage 3 întrebări din 30 de întrebări propuse. Dintre ele, 10 întrebări sunt de algebră, 15 de analiză și 5 de geometrie. Care este probabilitatea ca elevul să extragă cel puțin două întrebări din același domeniu? Din nou, va fi mai simplu să rezolvăm problema cu ajutorul evenimentului contrar, care sună astfel: care este probabilitatea ca elevul să extragă din fiecare domeniu exact o întrebare?

   Mai întâi calculăm câte triplete diferite poate extrage elevul. Pentru asta avem nevoie de combinări. Avem în total 30 de întrebări, din care extragem 3, iar ordinea nu contează. Obținem astfel

   $$C_{30}^3=4060$$

   Apoi, în câte moduri poate elevul să extragă din fiecare domeniu exact o întrebare? Cu ajutorul regulii produsului aflăm că sunt în total 10 · 15 · 5 = 750. La final înlocuim în formula pentru calculul probabilității:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Noi vrem însă evenimentul contrar, așa că scădem rezultatul din unu:

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$