Gegenereignis

Das Gegenereignis lässt sich manchmal bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nutzen. Das Gegenereignis zum Ereignis A ist das Ereignis $\bar{A}$, das alle möglichen Ergebnisse enthält, die eintreten können, aber nicht im Ereignis A liegen.

Definition

Die Definitionen von Zufallsexperiment und Ereignis stehen im Kapitel Wahrscheinlichkeit. Kurze Wiederholung: Ein Zufallsexperiment ist zum Beispiel der Wurf eines Würfels, die Menge aller möglichen Ergebnisse enthält die Ergebnisse, die eintreten können, d. h. beim Wurf eines Würfels ist das die Menge Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6}, ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω und kann zum Beispiel „Auf dem Würfel fiel eine ungerade Zahl“ sein, d. h. A = {1; 3; 5}.

Haben wir das Ereignis A, bleiben wir bei „Auf dem Würfel fiel eine ungerade Zahl“, d. h. A = {1; 3; 5}, dann verstehen wir unter dem Gegenereignis das Ereignis $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$. Das sind alle übrigen Ergebnisse; die, die in Ω liegen, aber nicht in A. In unserem Fall, in dem wir das Ereignis „Auf dem Würfel fiel eine ungerade Zahl“ haben, wäre das Gegenereignis das Ereignis „Auf dem Würfel fiel eine gerade Zahl“. Das Gegenereignis zum Ereignis „Es fällt die Zahl 2 oder 5“ ist das Ereignis „Es fällt die Zahl 1, 3, 4 oder 6“.

Um bei der Mengenterminologie zu bleiben: Wenn Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6} ist und wir das Ereignis A = {1; 2} („Es fällt eine Zahl kleiner als drei“) haben, dann ist $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A=\{1;2;3;4;5;6\}\setminus \{1;2\}=\{3;4;5;6\}$. In Worten könnten wir es als „Es fällt eine Zahl größer als zwei“ beschreiben.

Für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses gilt ein einfacher Zusammenhang: Wenn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A 25 % beträgt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\bar{A}$? Im Grunde fragen wir – wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A nicht eintritt? Das Ereignis A tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % ein, also tritt das Ereignis A mit einer Wahrscheinlichkeit von 100 − 25 = 75 % nicht ein. Das gilt immer, wir können also sagen, dass das Gegenereignis $\bar{A}$ mit der Wahrscheinlichkeit 1 − P(A) eintritt:

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Gelöste Beispiele

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf mit zwei Würfeln nicht zwei Sechsen fallen? Im Kapitel über die Wahrscheinlichkeit haben wir berechnet, dass es insgesamt 36 verschiedene Möglichkeiten gibt, die beim Wurf mit zwei Würfeln fallen können. Nun sollten wir berechnen, wie viele dieser Möglichkeiten nicht zwei Sechsen enthalten. Wir können den umgekehrten Weg gehen: Wir berechnen, wie viele Paare zwei Sechsen enthalten, berechnen die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses und ziehen sie dann von eins ab.

   Es gibt nur ein Paar, das zwei Sechsen enthält, (6, 6), also ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses A:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\bar{A}$, d. h. des Ereignisses „Es fallen nicht zwei Sechsen“, ist dann:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass uns beim Wurf mit drei Würfeln mindestens eine Sechs fällt? Diese Aufgabe können wir wieder direkt lösen und alle Variationen aufschreiben, in denen eine Sechs, zwei Sechsen und drei Sechsen gefallen sind. Wir können aber auch umgekehrt vorgehen und das Gegenereignis berechnen, d. h. das Ereignis „Es fiel keine einzige Sechs“. Zuerst berechnen wir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, die uns fallen können. Wir haben drei Würfel, auf jedem können die Zahlen 1 bis 6 fallen, das ergibt insgesamt 6³ = 216 Möglichkeiten.

   Jetzt müssen wir die Möglichkeiten zählen, in denen keine einzige Sechs vorkommt. Auf jedem Würfel muss also eine Zahl von 1 bis 5 fallen, es gibt somit insgesamt 5³ = 125 Möglichkeiten, die die Zahl 6 nicht enthalten. Jetzt setzen wir nur noch in die Formel ein:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Das war das Ereignis A – „Es fiel keine einzige Sechs“. Wir wollen aber das Gegenereignis kennen: „Es fiel mindestens eine Sechs“. Wir setzen also in die Formel ein:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Ein Schüler zieht in einer Mathematikprüfung 3 Fragen aus 30 angebotenen Fragen. Davon sind 10 Fragen aus Algebra, 15 aus Analysis und 5 aus Geometrie. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens zwei Fragen aus demselben Gebiet zieht? Auch diese Aufgabe lässt sich einfacher mithilfe des Gegenereignisses lösen, das lautet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler aus jedem Gebiet genau eine Frage zieht?

   Zuerst berechnen wir, wie viele verschiedene Dreiergruppen der Schüler ziehen kann. Dazu brauchen wir Kombinationen. Wir haben insgesamt 30 Fragen und ziehen daraus 3, wobei es nicht auf die Reihenfolge ankommt. Das ergibt den Binomialkoeffizienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Weiter: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, dass der Schüler aus jedem Gebiet genau eine Frage zieht? Mit der Produktregel erhalten wir, dass es insgesamt 10 · 15 · 5 = 750 sind. Schließlich setzen wir in die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit ein:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Wir wollen aber das Gegenereignis kennen, also ziehen wir das Ergebnis einfach von eins ab:

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$