Complementaire gebeurtenis

De complementaire gebeurtenis kunnen we soms gebruiken bij het berekenen van de kans op een gebeurtenis. De complementaire gebeurtenis van een gebeurtenis A is de gebeurtenis A^c die alle mogelijke uitkomsten bevat die kunnen voorkomen maar niet in gebeurtenis A zitten.

Definitie

De definities van een kansexperiment en een gebeurtenis staan in het artikel kans. Een korte herhaling: een kansexperiment is bijvoorbeeld een worp met een dobbelsteen, de uitkomstenruimte bevat de uitkomsten die kunnen optreden, dus bij een worp met een dobbelsteen is dat de verzameling Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, en een gebeurtenis is een deelverzameling van Ω, bijvoorbeeld “er valt een oneven getal”, dus A = {1, 3, 5}.

Als we een gebeurtenis A hebben, we blijven bij “er valt een oneven getal”, dus A = {1, 3, 5}, dan bedoelen we met de complementaire gebeurtenis de gebeurtenis A^c = Ω ∖ A. Dat zijn dus alle andere uitkomsten, die in Ω zitten maar niet in A. In ons geval, waarin we de gebeurtenis “er valt een oneven getal” hebben, is de complementaire gebeurtenis “er valt een even getal”. De complementaire gebeurtenis van “er valt 2 of 5” is “er valt 1, 3, 4 of 6”.

Om bij de terminologie van verzamelingen te blijven: als Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} en we hebben de gebeurtenis A = {1, 2} (“er valt een getal kleiner dan drie”), dan is A^c = Ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}. In woorden kunnen we dat omschrijven als “er valt een getal groter dan twee”.

Voor de kans op de complementaire gebeurtenis geldt een eenvoudig verband: als de kans op gebeurtenis A 25% is, wat is dan de kans op gebeurtenis A^c? Eigenlijk vragen we ons af: hoe groot is de kans dat gebeurtenis A niet optreedt? Gebeurtenis A treedt op met een kans van 25%, en dus treedt gebeurtenis A niet op met een kans van 100 − 25 = 75%. Dit geldt altijd, dus we kunnen zeggen dat de complementaire gebeurtenis A^c optreedt met kans 1 − P(A):

$$P(A^c)=1-P(A)$$

Uitgewerkte voorbeelden

1. Hoe groot is de kans dat we bij een worp met twee dobbelstenen niet twee zessen gooien? In het artikel over kans hebben we berekend dat er in totaal 36 verschillende mogelijkheden zijn bij een worp met twee dobbelstenen. Nu zouden we moeten tellen hoeveel van deze mogelijkheden geen twee zessen bevatten. We kunnen ook de andere kant op gaan: we tellen hoeveel paren twee zessen bevatten, berekenen de kans op die gebeurtenis en trekken die dan van één af.

   Er is maar één paar dat twee zessen bevat, (6, 6), dus de kans op deze gebeurtenis A is:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   De kans op de complementaire gebeurtenis A^c, dus op de gebeurtenis “er vallen geen twee zessen”, is dan:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Hoe groot is de kans dat we bij een worp met drie dobbelstenen minstens één zes gooien? Deze opgave kunnen we weer direct oplossen door alle variaties uit te schrijven waarin één zes, twee zessen en drie zessen vielen. Maar we kunnen het ook omdraaien en de complementaire gebeurtenis berekenen, dus de gebeurtenis “er viel geen enkele zes”. Eerst berekenen we hoeveel mogelijkheden er in totaal zijn. We hebben drie dobbelstenen, op elke kunnen de getallen 1 tot en met 6 vallen, dat geeft in totaal 6³ = 216 mogelijkheden.

   Nu moeten we de mogelijkheden tellen waarin geen enkele zes voorkomt. Op elke dobbelsteen moet dan een getal van 1 tot en met 5 vallen, dus er zijn in totaal 5³ = 125 mogelijkheden zonder het getal 6. Nu vullen we dit gewoon in de formule in:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Dit was gebeurtenis A: “er viel geen enkele zes”. Wij willen de complementaire gebeurtenis weten: “er viel minstens één zes”. We vullen dus in de formule in:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Een leerling trekt bij een mondelinge toets wiskunde 3 vragen uit 30 beschikbare vragen. Daarvan zijn er 10 over algebra, 15 over analyse en 5 over meetkunde. Hoe groot is de kans dat hij minstens twee vragen uit hetzelfde vakgebied trekt? Ook hier is het eenvoudiger om de opgave met de complementaire gebeurtenis op te lossen, die luidt: hoe groot is de kans dat de leerling uit elk vakgebied precies één vraag trekt?

   Eerst berekenen we hoeveel verschillende drietallen de leerling kan trekken. Daarvoor hebben we combinaties nodig. We hebben 30 vragen en we trekken er 3, waarbij de volgorde er niet toe doet. Dat geeft ons de binomiaalcoëfficiënt

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Verder: hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij de leerling uit elk vakgebied precies één vraag trekt? Met de vermenigvuldigingsregel vinden we dat dat er 10 · 15 · 5 = 750 zijn. Ten slotte vullen we in de formule voor de kans in:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Wij willen echter de complementaire gebeurtenis weten, dus we trekken het resultaat gewoon van één af:

   $$P(A^c)=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$