Komplementær hendelse

Den komplementære hendelsen kan av og til brukes når vi regner ut sannsynligheten for en hendelse. Den komplementære hendelsen til hendelsen A er hendelsen $\overline{A}$, som inneholder alle mulige utfall som kan inntreffe, men som ikke er med i hendelsen A.

Definisjon

Definisjonene av tilfeldig forsøk og hendelse står i kapittelet om sannsynlighet. Kort repetisjon: Et tilfeldig forsøk er for eksempel et terningkast, utfallsrommet inneholder de utfallene som kan inntreffe, altså for et terningkast mengden Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, og en hendelse er en delmengde av Ω og kan for eksempel være «terningen viser et oddetall», altså A = {1, 3, 5}.

Hvis vi har hendelsen A, la oss holde oss til «terningen viser et oddetall», altså A = {1, 3, 5}, forstår vi med den komplementære hendelsen hendelsen $\overline{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$. Det er alle de andre utfallene, de som er i Ω, men ikke i A. I vårt tilfelle, der vi har hendelsen «terningen viser et oddetall», ville den komplementære hendelsen være «terningen viser et partall». Den komplementære hendelsen til «det kommer tallet 2 eller 5» er «det kommer tallet 1, 3, 4 eller 6».

For å holde oss til mengdelæren: Hvis Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} og vi har hendelsen A = {1, 2} («det kommer et tall mindre enn tre»), er $\overline{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. Med ord kunne vi beskrive det som «det kommer et tall større enn to».

For sannsynligheten for den komplementære hendelsen gjelder en enkel sammenheng: Hvis sannsynligheten for hendelsen A er 25 %, hva er da sannsynligheten for hendelsen $\overline{A}$? I bunn og grunn spør vi — hva er sannsynligheten for at hendelsen A ikke inntreffer? Hendelsen A inntreffer med sannsynlighet 25 %, og dermed inntreffer ikke hendelsen A med sannsynlighet 100 − 25 = 75 %. Dette gjelder alltid, så vi kan si at den komplementære hendelsen $\overline{A}$ inntreffer med sannsynlighet 1 − P(A):

$$P(\overline{A})=1-P(A)$$

Løste eksempler

1. Hva er sannsynligheten for at vi ikke får to seksere når vi kaster to terninger? I kapittelet om sannsynlighet regnet vi ut at det finnes til sammen 36 ulike muligheter som kan komme opp når vi kaster to terninger. Nå kunne vi regne ut hvor mange av disse mulighetene som ikke inneholder to seksere. Men vi kan gå motsatt vei: Vi regner ut hvor mange par som inneholder to seksere, regner ut sannsynligheten for denne hendelsen og trekker den så fra én.

   Det finnes bare ett par som inneholder to seksere, (6, 6), så sannsynligheten for denne hendelsen A er:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Sannsynligheten for den komplementære hendelsen $\overline{A}$, altså hendelsen «vi får ikke to seksere», er da:

   $$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Hva er sannsynligheten for at vi får minst én sekser når vi kaster tre terninger? Denne oppgaven kan vi igjen løse direkte og skrive ut alle ordnede utvalg der det kom én sekser, to seksere og tre seksere. Men vi kan også gripe det an fra en annen vinkel og regne ut den komplementære hendelsen, altså hendelsen «det kom ingen sekser». Først regner vi ut hvor mange muligheter det finnes til sammen. Vi har tre terninger, på hver av dem kan tallene 1 til 6 komme opp, og det gir til sammen 6³ = 216 muligheter.

   Nå må vi regne ut de mulighetene der det ikke er noen sekser. På hver terning må det da komme et tall fra 1 til 5, og det finnes dermed til sammen 5³ = 125 muligheter som ikke inneholder tallet 6. Nå setter vi det bare inn i formelen:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Dette var hendelsen A — «det kom ingen sekser». Vi vil kjenne den komplementære hendelsen: «det kom minst én sekser». Vi setter altså inn i formelen:

   $$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. En elev trekker 3 spørsmål av 30 mulige på en muntlig eksamen i matematikk. Av dem er 10 spørsmål om algebra, 15 om funksjoner og 5 om geometri. Hva er sannsynligheten for at eleven trekker minst to spørsmål fra samme emne? Igjen blir det enklere å løse oppgaven ved hjelp av den komplementære hendelsen, som lyder: Hva er sannsynligheten for at eleven trekker nøyaktig ett spørsmål fra hvert emne?

   Først regner vi ut hvor mange ulike tripler eleven kan trekke. Til det trenger vi kombinasjoner. Vi har til sammen 30 spørsmål og trekker 3 av dem, og rekkefølgen har ikke noe å si. Det gir oss binomialkoeffisienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Videre: Hvor mange ulike muligheter finnes det for at eleven trekker nøyaktig ett spørsmål fra hvert emne? Ved hjelp av multiplikasjonsprinsippet finner vi at det er til sammen 10 · 15 · 5 = 750. Til slutt setter vi inn i formelen for å regne ut sannsynligheten:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Men vi vil kjenne den komplementære hendelsen, så vi trekker bare resultatet fra én:

   $$P(\overline{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$