Komplementhändelse

Komplementhändelsen kan ibland användas när vi beräknar sannolikheten för en händelse. Komplementhändelsen till händelsen A är händelsen A', som innehåller alla möjliga utfall som kan inträffa men som inte finns i händelsen A.

Definition

Slumpförsök och händelser definieras i kapitlet om sannolikhet. Kort repetition: ett slumpförsök är till exempel ett tärningskast, utfallsrummet innehåller de utfall som kan inträffa, alltså för ett tärningskast mängden Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, och en händelse är en delmängd av Ω. Det kan till exempel vara ”tärningen visar ett udda tal”, alltså A = {1, 3, 5}.

Om vi har händelsen A och håller oss till ”tärningen visar ett udda tal”, alltså A = {1, 3, 5}, menar vi med komplementhändelsen händelsen A' = Ω ∖ A. Det är alla övriga utfall, de som finns i Ω men inte i A. I vårt fall, med händelsen ”tärningen visar ett udda tal”, är komplementhändelsen ”tärningen visar ett jämnt tal”. Komplementhändelsen till ”det blir talet 2 eller 5” är ”det blir talet 1, 3, 4 eller 6”.

Om vi vill hålla oss till mängdlärans språk: om Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} och händelsen är A = {1, 2} (”det blir ett tal som är mindre än tre”), så är A' = Ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}. Med ord kan vi beskriva det som ”det blir ett tal som är större än två”.

För sannolikheten för en komplementhändelse gäller ett enkelt samband. Om sannolikheten för händelsen A är 25 %, vilken sannolikhet har då A'? Egentligen frågar vi: hur stor är sannolikheten att A inte inträffar? Händelsen A inträffar med sannolikheten 25 %, och därför inträffar A inte med sannolikheten 100 − 25 = 75 %. Det gäller alltid, så vi kan säga att komplementhändelsen A' inträffar med sannolikheten 1 − P(A):

$$P(A^{\prime })=1-P(A)$$

Lösta exempel

1. Hur stor är sannolikheten att det inte blir två sexor när vi kastar två tärningar? I kapitlet om sannolikhet räknade vi ut att det finns sammanlagt 36 olika utfall när vi kastar två tärningar. Nu borde vi räkna ut hur många av dem som inte innehåller två sexor. Vi kan gå den motsatta vägen: vi räknar ut hur många par som innehåller två sexor, beräknar sannolikheten för den händelsen och subtraherar den sedan från ett.

   Det finns bara ett par som innehåller två sexor, (6, 6), så sannolikheten för den händelsen A är:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Sannolikheten för komplementhändelsen A', alltså händelsen ”det blir inte två sexor”, är då:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Hur stor är sannolikheten att det blir minst en sexa när vi kastar tre tärningar? Den här uppgiften kan vi åter lösa direkt och skriva upp alla utfall där det blev en sexa, två sexor och tre sexor. Men vi kan också angripa den smartare och räkna ut komplementhändelsen, alltså ”det blev inte en enda sexa”. Först räknar vi ut hur många utfall det finns sammanlagt. Vi har tre tärningar, och på var och en kan talen 1 till 6 komma upp, vilket ger sammanlagt 6³ = 216 utfall.

   Nu måste vi räkna ut de utfall som inte innehåller någon sexa. På varje tärning måste det bli ett tal från 1 till 5, så det finns sammanlagt 5³ = 125 utfall som inte innehåller talet 6. Nu sätter vi bara in i formeln:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Det var händelsen A, ”det blev inte en enda sexa”. Vi vill veta komplementhändelsen: ”det blev minst en sexa”. Vi sätter alltså in i formeln:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. En elev drar tre frågor av 30 möjliga frågor på ett prov i matematik. Av dem är 10 frågor om algebra, 15 om analys och 5 om geometri. Hur stor är sannolikheten att eleven drar minst två frågor från samma område? Även här är det enklare att lösa uppgiften med hjälp av komplementhändelsen, som lyder: hur stor är sannolikheten att eleven drar exakt en fråga från varje område?

   Först räknar vi ut hur många olika kombinationer av tre frågor eleven kan dra. Då behöver vi kombinationer. Vi har sammanlagt 30 frågor och drar tre av dem, och ordningen spelar ingen roll. Det ger binomialkoefficienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Sedan frågar vi hur många olika sätt det finns att dra exakt en fråga från varje område. Med multiplikationsprincipen får vi att det är sammanlagt 10 · 15 · 5 = 750. Till sist sätter vi in i formeln för sannolikhet:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Men vi vill veta komplementhändelsen, så vi subtraherar bara resultatet från ett:

   $$P(A^{\prime })=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$