Αντίθετο ενδεχόμενο

Το αντίθετο ενδεχόμενο μπορούμε μερικές φορές να το χρησιμοποιήσουμε στον υπολογισμό της πιθανότητας κάποιου ενδεχομένου. Το αντίθετο ενδεχόμενο του ενδεχομένου A είναι το ενδεχόμενο A', που περιέχει όλα τα δυνατά αποτελέσματα που μπορούν να συμβούν, αλλά δεν ανήκουν στο ενδεχόμενο A.

Ορισμός

Οι ορισμοί του πειράματος τύχης και του ενδεχομένου αναφέρονται στο κεφάλαιο πιθανότητα. Σύντομη επανάληψη: πείραμα τύχης είναι για παράδειγμα η ρίψη ενός ζαριού, το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων περιέχει τα αποτελέσματα που μπορούν να συμβούν, δηλαδή στην περίπτωση της ρίψης ζαριού είναι το σύνολο Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του Ω και μπορεί να είναι «στο ζάρι ήρθε περιττός αριθμός», δηλαδή A = {1, 3, 5}.

Αν έχουμε το ενδεχόμενο A, ας μείνουμε στο «στο ζάρι ήρθε περιττός αριθμός», δηλαδή A = {1, 3, 5}, τότε ως αντίθετο ενδεχόμενο εννοούμε το ενδεχόμενο A' = Ω ∖ A. Είναι λοιπόν όλα τα υπόλοιπα αποτελέσματα· εκείνα που ανήκουν στο Ω, αλλά δεν ανήκουν στο A. Στην περίπτωσή μας, όπου έχουμε το ενδεχόμενο «στο ζάρι ήρθε περιττός αριθμός», το αντίθετο ενδεχόμενο θα ήταν το ενδεχόμενο «στο ζάρι ήρθε άρτιος αριθμός». Αντίθετο ενδεχόμενο του «έρχεται ο αριθμός 2 ή 5» είναι το «έρχεται ο αριθμός 1, 3, 4 ή 6».

Για να μείνουμε στην ορολογία των συνόλων, αν Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} και έχουμε το ενδεχόμενο A = {1, 2} («έρχεται αριθμός μικρότερος από τρία»), τότε A' = Ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}. Με λόγια θα μπορούσαμε να το περιγράψουμε ως «έρχεται αριθμός μεγαλύτερος από δύο».

Για την πιθανότητα του αντίθετου ενδεχομένου ισχύει μια απλή σχέση: αν η πιθανότητα του ενδεχομένου A είναι 25%, ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου A'; Ουσιαστικά ρωτάμε – ποια είναι η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A; Το ενδεχόμενο A πραγματοποιείται με πιθανότητα 25% και έτσι το ενδεχόμενο A δεν πραγματοποιείται με πιθανότητα 100 − 25 = 75%. Αυτό ισχύει πάντα, οπότε μπορούμε να πούμε ότι το αντίθετο ενδεχόμενο A' πραγματοποιείται με πιθανότητα 1 − P(A):

$$P(A^{\prime })=1-P(A)$$

Λυμένα παραδείγματα

1. Ποια είναι η πιθανότητα, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, να μην έρθουν δύο εξάρες; Στο κεφάλαιο για την πιθανότητα υπολογίσαμε ότι υπάρχουν συνολικά 36 διαφορετικές δυνατότητες που μπορούν να έρθουν στη ρίψη δύο ζαριών. Τώρα θα έπρεπε να υπολογίσουμε πόσες από αυτές τις δυνατότητες δεν περιέχουν δύο εξάρες. Μπορούμε όμως να πάμε αντίστροφα: υπολογίζουμε πόσα ζεύγη περιέχουν δύο εξάρες, υπολογίζουμε την πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου και μετά την αφαιρούμε από το ένα.

   Υπάρχει μόνο ένα ζεύγος που περιέχει δύο εξάρες, το (6, 6), άρα η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου A είναι:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Η πιθανότητα του αντίθετου ενδεχομένου A', δηλαδή του ενδεχομένου «δεν έρχονται δύο εξάρες», είναι τότε:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Ποια είναι η πιθανότητα, όταν ρίχνουμε τρία ζάρια, να φέρουμε τουλάχιστον μία εξάρα; Και αυτή την άσκηση μπορούμε να τη λύσουμε απευθείας και να γράψουμε όλες τις περιπτώσεις, στις οποίες ήρθε μία εξάρα, δύο εξάρες και τρεις εξάρες. Μπορούμε όμως να την πάρουμε από την ανάποδη και να υπολογίσουμε το αντίθετο ενδεχόμενο, δηλαδή το ενδεχόμενο «δεν ήρθε ούτε μία εξάρα». Πρώτα υπολογίζουμε πόσες δυνατότητες υπάρχουν συνολικά να έρθουν. Έχουμε τρία ζάρια, σε καθένα μπορούν να έρθουν οι αριθμοί από το 1 έως το 6, που δίνει συνολικά 6³ = 216 δυνατότητες.

   Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε εκείνες τις δυνατότητες, στις οποίες δεν υπάρχει ούτε μία εξάρα. Σε κάθε ζάρι πρέπει λοιπόν να έρθει αριθμός από το 1 έως το 5, άρα υπάρχουν συνολικά 5³ = 125 δυνατότητες που δεν περιέχουν τον αριθμό 6. Τώρα απλώς αντικαθιστούμε στον τύπο:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Αυτό ήταν το ενδεχόμενο A – «δεν ήρθε ούτε μία εξάρα». Εμείς θέλουμε να ξέρουμε το αντίθετο ενδεχόμενο: «ήρθε τουλάχιστον μία εξάρα». Αντικαθιστούμε λοιπόν στον τύπο:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Ένας μαθητής στις εξετάσεις μαθηματικών τραβάει 3 ερωτήσεις από 30 διαθέσιμες ερωτήσεις. Από αυτές 10 ερωτήσεις είναι από την Άλγεβρα, 15 από την Ανάλυση και 5 από τη Γεωμετρία. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξει τουλάχιστον δύο ερωτήσεις από τον ίδιο κλάδο; Και πάλι θα είναι ευκολότερο να λύσουμε την άσκηση με το αντίθετο ενδεχόμενο, που λέει: ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής να τραβήξει από κάθε κλάδο ακριβώς μία ερώτηση;

   Πρώτα υπολογίζουμε πόσες διαφορετικές τριάδες μπορεί να τραβήξει ο μαθητής. Γι' αυτό θα χρειαστούμε συνδυασμούς. Έχουμε συνολικά 30 ερωτήσεις και τραβάμε 3 από αυτές, χωρίς να έχει σημασία η σειρά. Αυτό μας δίνει τον διωνυμικό συντελεστή

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Έπειτα, πόσες διαφορετικές δυνατότητες υπάρχουν ο μαθητής να τραβήξει από κάθε κλάδο ακριβώς μία ερώτηση; Με τη βοήθεια της πολλαπλασιαστικής αρχής βρίσκουμε ότι είναι συνολικά 10 · 15 · 5 = 750. Τέλος αντικαθιστούμε στον τύπο για τον υπολογισμό της πιθανότητας:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Εμείς όμως θέλουμε να ξέρουμε το αντίθετο ενδεχόμενο, οπότε απλώς αφαιρούμε το αποτέλεσμα από το ένα:

   $$P(A^{\prime })=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$