Evento complementare

L’evento complementare può talvolta aiutarci a calcolare la probabilità di un evento. L’evento complementare dell’evento A è l’evento $\bar{A}$, che contiene tutti i possibili risultati che possono presentarsi, ma che non sono nell’evento A.

Definizione

Le definizioni di esperimento aleatorio e di evento si trovano nel capitolo probabilità. Un breve ripasso: un esperimento aleatorio è, per esempio, il lancio di un dado; l’insieme di tutti i possibili risultati contiene i risultati che possono presentarsi, cioè nel caso del dado è l’insieme Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}; un evento è un sottoinsieme di Ω e può essere «sul dado è uscito un numero dispari», cioè A = {1, 3, 5}.

Dato un evento A (restiamo su «sul dado è uscito un numero dispari», cioè A = {1, 3, 5}), per evento complementare intendiamo l’evento $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$. Sono quindi tutti gli altri risultati, quelli che stanno in Ω ma non in A. Nel nostro caso, con l’evento «sul dado è uscito un numero dispari», l’evento complementare sarebbe «sul dado è uscito un numero pari». L’evento complementare di «esce il numero 2 o 5» è «esce il numero 1, 3, 4 o 6».

Per restare nella terminologia degli insiemi: se Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e abbiamo l’evento A = {1, 2} («esce un numero minore di tre»), allora $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. A parole potremmo descriverlo come «esce un numero maggiore di due».

Per la probabilità dell’evento complementare vale una relazione semplice: se la probabilità dell’evento A è del 25%, qual è la probabilità dell’evento $\bar{A}$? In sostanza ci chiediamo: qual è la probabilità che l’evento A non si verifichi? L’evento A si verifica con probabilità del 25%, quindi l’evento A non si verifica con probabilità 100 − 25 = 75%. Questo vale sempre, quindi possiamo dire che l’evento complementare $\bar{A}$ si verifica con probabilità 1 − P(A):

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Esercizi svolti

1. Qual è la probabilità che lanciando due dadi non escano due sei? Nel capitolo sulla probabilità abbiamo calcolato che esistono in tutto 36 possibilità diverse che possono uscire lanciando due dadi. Ora dovremmo contare quante di queste possibilità non contengono due sei. Possiamo seguire la strada opposta: calcoliamo quante coppie contengono due sei, calcoliamo la probabilità di questo evento e poi la sottraiamo da uno.

   C’è una sola coppia che contiene due sei, (6; 6), quindi la probabilità di questo evento A è:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   La probabilità dell’evento complementare $\bar{A}$, cioè dell’evento «non escono due sei», è allora:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Qual è la probabilità che lanciando tre dadi esca almeno un sei? Anche questo problema si può risolvere direttamente, elencando tutte le disposizioni in cui è uscito un sei, due sei e tre sei. Ma possiamo anche prenderla alla larga e calcolare l’evento complementare, cioè l’evento «non è uscito nessun sei». Per prima cosa calcoliamo quante possibilità esistono in tutto. Abbiamo tre dadi, su ciascuno possono uscire i numeri da 1 a 6, il che dà in tutto 6³ = 216 possibilità.

   Ora dobbiamo contare le possibilità in cui non c’è nessun sei. Su ogni dado deve quindi uscire un numero da 1 a 5, perciò esistono in tutto 5³ = 125 possibilità che non contengono il numero 6. Ora basta sostituire nella formula:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Questo era l’evento A — «non è uscito nessun sei». A noi interessa l’evento complementare: «è uscito almeno un sei». Sostituiamo quindi nella formula:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. All’esame di matematica uno studente pesca 3 domande su 30 proposte. Di queste, 10 sono di algebra, 15 di analisi e 5 di geometria. Qual è la probabilità che peschi almeno due domande dello stesso ambito? Anche stavolta sarà più semplice risolvere il problema con l’evento complementare, che si formula così: qual è la probabilità che lo studente peschi esattamente una domanda per ciascun ambito?

   Per prima cosa calcoliamo quante terne diverse può pescare lo studente. Per questo ci serviranno le combinazioni. Abbiamo in tutto 30 domande e ne peschiamo 3, senza che importi l’ordine. Questo ci dà il coefficiente binomiale

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Poi, in quanti modi diversi lo studente può pescare esattamente una domanda per ciascun ambito? Con il principio del prodotto troviamo che sono in tutto 10 · 15 · 5 = 750. Infine sostituiamo nella formula per il calcolo della probabilità:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   A noi però interessa l’evento complementare, quindi sottraiamo semplicemente il risultato da uno:

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$