Suceso contrario

El suceso contrario se puede aprovechar a veces al calcular la probabilidad de un suceso. El suceso contrario del suceso A es el suceso $\bar{A}$, que contiene todos los resultados posibles que pueden darse pero que no están en el suceso A.

Definición

Las definiciones de experimento aleatorio y de suceso se encuentran en el capítulo de probabilidad. Un breve repaso: un experimento aleatorio es, por ejemplo, lanzar un dado; el conjunto de todos los resultados posibles contiene los resultados que pueden darse, es decir, en el caso del dado es el conjunto Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}; un suceso es un subconjunto de Ω y puede ser «en el dado ha salido un número impar», es decir, A = {1, 3, 5}.

Si tenemos un suceso A, y nos quedamos con «en el dado ha salido un número impar», es decir, A = {1, 3, 5}, entonces por suceso contrario entendemos el suceso $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$. Son, pues, todos los demás resultados; los que están en Ω pero no están en A. En nuestro caso, con el suceso «en el dado ha salido un número impar», el suceso contrario sería «en el dado ha salido un número par». El suceso contrario de «sale el número 2 o 5» es «sale el número 1, 3, 4 o 6».

Para ceñirnos a la terminología de conjuntos: si Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y tenemos el suceso A = {1, 2} («sale un número menor que tres»), entonces $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. Con palabras podríamos describirlo como «sale un número mayor que dos».

Para la probabilidad del suceso contrario vale una relación sencilla: si la probabilidad del suceso A es del 25 %, ¿cuál es la probabilidad del suceso $\bar{A}$? En el fondo nos preguntamos cuál es la probabilidad de que no ocurra el suceso A. El suceso A ocurre con una probabilidad del 25 % y, por tanto, el suceso A no ocurre con una probabilidad de 100 − 25 = 75 %. Esto vale siempre, así que podemos decir que el suceso contrario $\bar{A}$ ocurre con probabilidad 1 − P(A):

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Ejercicios resueltos

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados no salgan dos seises? En el capítulo sobre la probabilidad calculamos que existen en total 36 posibilidades distintas que pueden salir al lanzar dos dados. Ahora tendríamos que calcular cuántas de estas posibilidades no contienen dos seises. Podemos ir por el camino contrario: calculamos cuántas parejas contienen dos seises, calculamos la probabilidad de este suceso y esta se la restamos a uno.

   Solo hay una pareja que contiene dos seises, (6, 6), así que la probabilidad de este suceso A es:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   La probabilidad del suceso contrario $\bar{A}$, es decir, del suceso «no salen dos seises», es entonces:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres dados salga al menos un seis? Este problema podemos resolverlo de nuevo directamente y escribir todas las variaciones en las que ha salido un seis, dos seises y tres seises. Pero podemos tomar el camino contrario y calcular el suceso contrario, es decir, el suceso «no ha salido ningún seis». Primero calculamos cuántas posibilidades existen en total que pueden salir. Tenemos tres dados, en cada uno pueden salir los números del 1 al 6, lo que da en total 6³ = 216 posibilidades.

   Ahora tenemos que calcular las posibilidades en las que no hay ningún seis. En cada dado tiene que salir, pues, un número del 1 al 5, así que existen en total 5³ = 125 posibilidades que no contienen el número 6. Ahora solo lo sustituimos en la fórmula:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Este era el suceso A: «no ha salido ningún seis». Nosotros queremos conocer el suceso contrario: «ha salido al menos un seis». Sustituimos, pues, en la fórmula:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. En un examen de matemáticas, un alumno saca 3 preguntas de las 30 que se ofrecen. De ellas, 10 preguntas son de álgebra, 15 de análisis y 5 de geometría. ¿Cuál es la probabilidad de que saque al menos dos preguntas del mismo campo? De nuevo será más sencillo resolver este problema mediante el suceso contrario, que dice: ¿cuál es la probabilidad de que el alumno saque de cada campo exactamente una pregunta?

   Primero calculamos cuántas ternas distintas puede sacar el alumno. Para ello necesitaremos las combinaciones. Tenemos en total 30 preguntas y sacamos de ellas 3, sin que importe el orden. Eso nos da el número combinatorio

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   A continuación, ¿cuántas posibilidades existen de que el alumno saque de cada campo exactamente una pregunta? Mediante el principio de multiplicación de la combinatoria averiguamos que son en total 10 · 15 · 5 = 750. Por último sustituimos en la fórmula para calcular la probabilidad:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Pero nosotros queremos conocer el suceso contrario, así que el resultado solo lo restamos a uno:

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$