Komplementer esemény

A komplementer esemény olykor jól jöhet egy esemény valószínűségének kiszámításakor. Az A esemény komplementer eseménye az $\bar{A}$ esemény, amely tartalmazza az összes lehetséges kimenetelt, amely bekövetkezhet, de nincs benne az A eseményben.

Definíció

A véletlen kísérlet és az esemény definíciója a valószínűség fejezetben található. Rövid ismétlés: véletlen kísérlet például a kockadobás, az összes lehetséges kimenetel halmaza azokat a kimeneteleket tartalmazza, amelyek bekövetkezhetnek, azaz kockadobásnál ez az ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz, az esemény az ω részhalmaza, és lehet például „a kockán páratlan szám esett”, azaz A = {1, 3, 5}.

Ha van egy A eseményünk, maradjunk az „a kockán páratlan szám esett” esetnél, azaz A = {1, 3, 5}, akkor komplementer eseményen az $\bar{A}=\omega \setminus A$ eseményt értjük. Ezek tehát az összes többi kimenetel; azok, amelyek benne vannak ω-ban, de nincsenek benne A-ban. Esetünkben, amikor az esemény az „a kockán páratlan szám esett”, a komplementer esemény az „a kockán páros szám esett” lenne. A „2-t vagy 5-öt dobunk” esemény komplementere az „1-et, 3-at, 4-et vagy 6-ot dobunk” esemény.

Hogy a halmazok nyelvénél maradjunk: ha ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, és van egy A = {1, 2} eseményünk („háromnál kisebb számot dobunk”), akkor $\bar{A}=\omega \setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. Szavakkal ezt úgy írhatnánk le, hogy „kettőnél nagyobb számot dobunk”.

A komplementer esemény valószínűségére egy egyszerű összefüggés érvényes: ha az A esemény valószínűsége 25%, mekkora az $\bar{A}$ esemény valószínűsége? Lényegében azt kérdezzük – mekkora a valószínűsége, hogy az A esemény nem következik be? Az A esemény 25% valószínűséggel bekövetkezik, tehát 100 − 25 = 75% valószínűséggel A nem következik be. Ez mindig igaz, ezért kimondhatjuk, hogy az $\bar{A}$ komplementer esemény 1 − P(A) valószínűséggel következik be:

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Megoldott feladatok

1. Mekkora a valószínűsége, hogy két kockával dobva nem esik két hatos? A valószínűség fejezetben kiszámoltuk, hogy két kockával dobva összesen 36 különböző lehetőség fordulhat elő. Most azt kellene kiszámolnunk, hány lehetőség nem tartalmaz két hatost. Mehetünk az ellenkező úton: kiszámoljuk, hány pár tartalmaz két hatost, kiszámoljuk ennek az eseménynek a valószínűségét, és azt kivonjuk 1-ből.

   Csak egyetlen pár tartalmaz két hatost, a (6; 6), ezért ennek az A eseménynek a valószínűsége:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Az $\bar{A}$ komplementer esemény, azaz a „nem esik két hatos” esemény valószínűsége tehát:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Mekkora a valószínűsége, hogy három kockával dobva legalább egy hatost dobunk? Ezt a feladatot megint megoldhatjuk közvetlenül is, és felírhatjuk az összes variációt, amelyben egy hatos, két hatos és három hatos esett. De a dolgot megközelíthetjük fordítva is, és kiszámolhatjuk a komplementer eseményt, azaz az „egyetlen hatos sem esett” eseményt. Először kiszámoljuk, hány lehetőség fordulhat elő összesen. Három kockánk van, mindegyiken 1-től 6-ig eshetnek számok, ez összesen 6³ = 216 lehetőséget ad.

   Most meg kell számolnunk azokat a lehetőségeket, amelyekben egyetlen hatos sincs. Mindegyik kockán tehát 1-től 5-ig kell számnak esnie, így összesen 5³ = 125 olyan lehetőség van, amely nem tartalmaz hatost. Ezt most már csak behelyettesítjük a képletbe:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Ez az A esemény volt – „egyetlen hatos sem esett”. Mi a komplementer eseményt szeretnénk ismerni: „legalább egy hatos esett”. Behelyettesítünk tehát a képletbe:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Egy diák a matematikavizsgán 3 kérdést húz a kínált 30 kérdésből. Ebből 10 kérdés algebrából, 15 analízisből és 5 geometriából van. Mekkora a valószínűsége, hogy legalább két kérdést húz ugyanabból a témakörből? Ezt a feladatot megint egyszerűbb a komplementer eseménnyel megoldani, amely így szól: mekkora a valószínűsége, hogy a diák minden témakörből pontosan egy kérdést húz?

   Először kiszámoljuk, hány különböző hármast húzhat a diák. Ehhez kombinációra lesz szükségünk. Összesen 30 kérdésünk van, ezekből húzunk 3-at, és a sorrend nem számít. Ez a

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   binomiális együtthatót adja. Továbbá hányféleképpen húzhat a diák minden témakörből pontosan egy kérdést? A kombinatorikai szorzatszabállyal megkapjuk, hogy ez összesen 10 · 15 · 5 = 750. Végül behelyettesítünk a valószínűség kiszámításának képletébe:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Mi viszont a komplementer eseményt szeretnénk tudni, ezért az eredményt egyszerűen kivonjuk 1-ből:

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$