Противоположно събитие

Противоположното събитие понякога може да се използва при пресмятането на вероятността на дадено събитие. Противоположното събитие на събитието A е събитието $\bar{A}$, което съдържа всички възможни изходи, които могат да настъпят, но не са в събитието A.

Определение

Определенията на случаен опит и събитие са дадени в раздела вероятност. Накратко за припомняне: случаен опит е например хвърлянето на зар, множеството на всички възможни изходи съдържа изходите, които могат да настъпят, т.е. при хвърляне на зар това е множеството Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а събитие е подмножество на Ω и може да бъде „на зара се е паднало нечетно число“, т.е. A = {1, 3, 5}.

Ако имаме събитие A, да останем при „на зара се е паднало нечетно число“, т.е. A = {1, 3, 5}, то под противоположно събитие разбираме събитието $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$. Това са всички останали изходи – тези, които са в Ω, но не са в A. В нашия случай, когато имаме събитието „на зара се е паднало нечетно число“, противоположното събитие би било „на зара се е паднало четно число“. Противоположно на събитието „пада се числото 2 или 5“ е събитието „пада се числото 1, 3, 4 или 6“.

За да се придържаме към терминологията на множествата: ако Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} и имаме събитието A = {1, 2} („пада се число, по-малко от три“), то $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. Словом бихме могли да го опишем като „пада се число, по-голямо от две“.

За вероятността на противоположното събитие е в сила проста зависимост: ако вероятността на събитието A е 25%, каква е вероятността на събитието $\bar{A}$? По същество питаме: каква е вероятността събитието A да не настъпи? Събитието A настъпва с вероятност 25%, така че събитието A не настъпва с вероятност 100 − 25 = 75%. Това е в сила винаги, така че можем да кажем, че противоположното събитие $\bar{A}$ настъпва с вероятност 1 − P(A):

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Решени примери

1. Каква е вероятността при хвърляне на два зара да не се паднат две шестици? В раздела за вероятността пресметнахме, че има общо 36 различни възможности, които могат да се паднат при хвърляне на два зара. Сега би трябвало да пресметнем колко от тези възможности не съдържат две шестици. Можем да тръгнем в обратна посока: ще пресметнем колко двойки съдържат две шестици, ще пресметнем вероятността на това събитие и после ще я извадим от единица.

   Има само една двойка, която съдържа две шестици, (6; 6), така че вероятността на това събитие A е:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Вероятността на противоположното събитие $\bar{A}$, т.е. събитието „не се падат две шестици“, тогава е:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Каква е вероятността при хвърляне на три зара да ни се падне поне една шестица? Тази задача можем отново да решим директно и да изброим всички вариации, в които ни се е паднала една шестица, две шестици и три шестици. Можем обаче да подходим от другата страна и да пресметнем противоположното събитие, т.е. събитието „не се е паднала нито една шестица“. Първо ще пресметнем колко общо възможности могат да ни се паднат. Имаме три зара, на всеки могат да се паднат числата от 1 до 6, което дава общо 6³ = 216 възможности.

   Сега трябва да пресметнем онези възможности, в които няма нито една шестица. На всеки зар трябва да се падне число от 1 до 5, така че има общо 5³ = 125 възможности, които не съдържат числото 6. Сега вече само заместваме във формулата:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Това беше събитието A – „не се е паднала нито една шестица“. Ние искаме да знаем противоположното събитие: „паднала се е поне една шестица“. Затова заместваме във формулата:

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Студент на изпит по математика тегли 3 въпроса от 30 предложени въпроса. От тях 10 въпроса са по алгебра, 15 по анализ и 5 по геометрия. Каква е вероятността да изтегли поне два въпроса от една и съща област? Отново ще е по-лесно да решим задачата чрез противоположното събитие, което гласи: каква е вероятността студентът да изтегли от всяка област точно по един въпрос?

   Първо ще пресметнем колко различни тройки може да изтегли студентът. За това ни трябват комбинации. Имаме общо 30 въпроса и теглим 3 от тях, като редът няма значение. Това ни дава биномния коефициент

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   След това колко са възможностите студентът да изтегли от всяка област точно по един въпрос? С помощта на комбинаторното правило за умножение установяваме, че са общо 10 · 15 · 5 = 750. Накрая заместваме във формулата за пресмятане на вероятността:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Ние обаче искаме да знаем противоположното събитие, така че просто изваждаме резултата от единица:

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$