Tümleyen Olay

Tümleyen olay, bir olayın olasılığını hesaplarken zaman zaman işimize yarar. A olayının tümleyeni, gerçekleşebilecek çıktılardan A olayında bulunmayanların hepsini içeren A' olayıdır.

Tanım

Rastgele deney ve olayın tanımları olasılık bölümünde verilmişti. Kısa bir tekrar: Rastgele deney örneğin zar atmaktır, bütün olası çıktıların kümesi gerçekleşebilecek çıktıları içerir; yani zar atmada bu ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesidir. Olay, ω’nın bir alt kümesidir ve “zarda tek sayı geldi” olabilir, yani A = {1, 3, 5}.

A olayında, yani “zarda tek sayı geldi” olayında (A = {1, 3, 5}) kalırsak, tümleyen olay derken A' = ω ∖ A olayını kastederiz. Bunlar diğer bütün çıktılardır; yani ω’da olan ama A’da olmayanlar. Bizim durumumuzda, yani “zarda tek sayı geldi” olayında, tümleyen olay “zarda çift sayı geldi” olayı olurdu. “2 ya da 5 gelir” olayının tümleyeni “1, 3, 4 ya da 6 gelir” olayıdır.

Küme terminolojisine bağlı kalmak için: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A = {1, 2} olayı (“üçten küçük bir sayı gelir”) varsa A' = ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6} olur. Bunu sözle “ikiden büyük bir sayı gelir” diye tarif edebiliriz.

Tümleyen olayın olasılığı için basit bir bağıntı geçerlidir: A olayının olasılığı %25 ise A' olayının olasılığı nedir? Aslında soru şu: A olayının gerçekleşmeme olasılığı nedir? A olayı %25 olasılıkla gerçekleşir; öyleyse A olayı 100 − 25 = %75 olasılıkla gerçekleşmez. Bu her zaman geçerlidir; dolayısıyla tümleyen A' olayının 1 − P(A) olasılıkla gerçekleştiğini söyleyebiliriz:

$$P(A^{\prime })=1-P(A)$$

Çözümlü Örnekler

1. İki zar atılırken iki tane altı gelmeme olasılığı nedir? Olasılık bölümünde iki zar atılırken gelebilecek toplam 36 farklı durum olduğunu hesaplamıştık. Şimdi bu durumlardan kaçının iki altı içermediğini bulmamız gerekir. Biz ters yoldan gidebiliriz: Kaç ikilinin iki altı içerdiğini sayarız, bu olayın olasılığını hesaplarız ve onu 1’den çıkarırız.

   İki altı içeren yalnızca bir ikili vardır, (6, 6); dolayısıyla bu A olayının olasılığı şudur:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Tümleyen A' olayının, yani “iki altı gelmez” olayının olasılığı o zaman şudur:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Üç zar atılırken en az bir tane altı gelme olasılığı nedir? Bu soruyu yine doğrudan çözebilir, bir tane altı, iki tane altı ve üç tane altı gelen bütün durumları yazabiliriz. Ama işe tersinden başlayıp tümleyen olayı hesaplayabiliriz, yani “hiç altı gelmedi” olayını. Önce gelebilecek toplam kaç durum olduğunu hesaplayalım. Üç zarımız var, her birinde 1’den 6’ya kadar sayılar gelebilir; bu da toplam 6³ = 216 durum verir.

   Şimdi içinde hiç altı olmayan durumları hesaplamalıyız. Her zarda 1’den 5’e kadar bir sayı gelmelidir; yani 6 sayısını içermeyen toplam 5³ = 125 durum vardır. Şimdi bunu formülde yerine yazalım:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=\mathrm{\%}57,87$$

   Bu, A olayıydı — “hiç altı gelmedi”. Bizse tümleyen olayı bilmek istiyoruz: “en az bir altı geldi”. Bu yüzden formülde yerine yazarız:

   $$P(A^{\prime })=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{\%}\mathrm{42,129}6$$

3. Bir öğrenci matematik sınavında sunulan 30 sorudan 3 soru çekiyor. Bunların 10’u cebir, 15’i analiz, 5’i geometri sorusu. Öğrencinin aynı alandan en az iki soru çekme olasılığı nedir? Bu soruyu yine tümleyen olayla çözmek daha kolay olacak; tümleyen olay şudur: Öğrencinin her alandan tam birer soru çekme olasılığı nedir?

   Önce öğrencinin kaç farklı üçlü çekebileceğini hesaplayalım. Bunun için kombinasyona ihtiyacımız olacak. Toplam 30 sorumuz var ve onlardan 3 tanesini çekiyoruz; sıranın önemi yok. Bu bize şu kombinasyon sayısını verir:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Sonra, öğrencinin her alandan tam birer soru çektiği kaç farklı durum var? Çarpma yoluyla sayma kuralıyla bunun toplam 10 · 15 · 5 = 750 olduğunu buluruz. Son olarak olasılık formülünde yerine yazarız:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=\mathrm{\%}18,47$$

   Ama biz tümleyen olayı bilmek istiyoruz; bu yüzden sonucu 1’den çıkarırız:

   $$P(A^{\prime })=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=\mathrm{\%}81,53$$