Komplementærhændelse

Komplementærhændelsen kan indimellem bruges, når vi beregner sandsynligheden for en hændelse. Komplementærhændelsen til hændelsen A er hændelsen $\overline{A}$, som indeholder alle mulige udfald, der kan indtræffe, men som ikke er i hændelsen A.

Definition

Definitionerne af tilfældigt eksperiment og hændelse står i artiklen sandsynlighed. Kort gentagelse: et tilfældigt eksperiment er fx et slag med en terning, mængden af alle mulige udfald indeholder de udfald, der kan indtræffe, dvs. i tilfældet med et terningekast er det mængden U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, en hændelse er en delmængde af U, og det kan være »på terningen kom der et ulige tal op«, dvs. A = {1, 3, 5}.

Hvis vi har hændelsen A og bliver ved »på terningen kom der et ulige tal op«, dvs. A = {1, 3, 5}, så forstår vi ved komplementærhændelsen hændelsen $\overline{A}=U\setminus A$. Det er altså alle de andre udfald; dem, der er i U, men ikke er i A. I vores tilfælde, hvor vi har hændelsen »på terningen kom der et ulige tal op«, ville komplementærhændelsen være hændelsen »på terningen kom der et lige tal op«. Komplementærhændelsen til hændelsen »der kommer tallet 2 eller 5« er hændelsen »der kommer tallet 1, 3, 4 eller 6«.

For at holde os til mængdeterminologien: hvis U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} og vi har hændelsen A = {1, 2} (»der kommer et tal mindre end tre«), så er $\overline{A}=U\setminus A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus \{1,2\}=\{3,4,5,6\}$. Med ord kunne vi beskrive det som »der kommer et tal større end to«.

For sandsynligheden for komplementærhændelsen gælder en enkel sammenhæng: hvis sandsynligheden for hændelsen A er 25 %, hvad er så sandsynligheden for hændelsen $\overline{A}$? Vi spørger i bund og grund — hvad er sandsynligheden for, at hændelsen A ikke indtræffer? Hændelsen A indtræffer med sandsynligheden 25 %, og så indtræffer hændelsen A ikke med sandsynligheden 100 − 25 = 75 %. Dette gælder altid, så vi kan sige, at komplementærhændelsen $\overline{A}$ indtræffer med sandsynligheden 1 − P(A):

$$P(\overline{A})=1-P(A)$$

Løste eksempler

1. Hvad er sandsynligheden for, at vi ved et slag med to terninger ikke slår to seksere? I artiklen om sandsynlighed har vi beregnet, at der i alt er 36 forskellige muligheder, som kan komme op ved et slag med to terninger. Nu skal vi beregne, hvor mange af disse muligheder der ikke indeholder to seksere. Vi kan gå den modsatte vej: vi beregner, hvor mange par der indeholder to seksere, beregner sandsynligheden for denne hændelse og trækker den så fra et.

   Der er kun ét par, som indeholder to seksere, (6, 6), så sandsynligheden for denne hændelse A er:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Sandsynligheden for komplementærhændelsen $\overline{A}$, dvs. hændelsen »der kommer ikke to seksere«, er så:

   $$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Hvad er sandsynligheden for, at vi ved et slag med tre terninger slår mindst én sekser? Denne opgave kan vi igen løse direkte og skrive alle de ordnede udvælgelser op, hvor vi slog én sekser, to seksere og tre seksere. Men vi kan gribe det an fra den modsatte side og beregne komplementærhændelsen, dvs. hændelsen »der kom ikke en eneste sekser«. Først beregner vi, hvor mange muligheder der i alt findes, som kan komme op. Vi har tre terninger, på hver kan tallene 1 til 6 komme op, hvilket giver i alt 6³ = 216 muligheder.

   Nu skal vi beregne de muligheder, hvor der ikke er en eneste sekser. På hver terning skal der altså komme et tal fra 1 til 5, der findes således i alt 5³ = 125 muligheder, som ikke indeholder tallet 6. Nu sætter vi det bare ind i formlen:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Dette var hændelsen A — »der kom ikke en eneste sekser«. Vi vil kende komplementærhændelsen: »der kom mindst én sekser«. Vi sætter således ind i formlen:

   $$P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Til en eksamen i matematik trækker en elev 3 spørgsmål ud af 30 tilbudte spørgsmål. Heraf er 10 spørgsmål fra algebra, 15 fra analyse og 5 fra geometri. Hvad er sandsynligheden for, at eleven trækker mindst to spørgsmål fra samme emneområde? Igen bliver det nemmere at løse denne opgave ved hjælp af komplementærhændelsen, som lyder: hvad er sandsynligheden for, at eleven trækker præcis ét spørgsmål fra hvert emneområde?

   Først beregner vi, hvor mange forskellige tripler eleven kan trække. Til det får vi brug for kombinationer. Vi har i alt 30 spørgsmål og trækker 3 af dem, og rækkefølgen har ingen betydning. Det giver os binomialkoefficienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Dernæst, hvor mange forskellige muligheder er der for, at eleven trækker præcis ét spørgsmål fra hvert emneområde? Ved hjælp af multiplikationsprincippet finder vi, at det er i alt 10 · 15 · 5 = 750. Til sidst sætter vi ind i formlen til beregning af sandsynlighed:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Men vi vil kende komplementærhændelsen, så vi trækker bare resultatet fra et:

   $$P(\overline{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$