Événement contraire

L’événement contraire peut parfois servir au calcul de la probabilité d’un événement. L’événement contraire de A est l’événement $\bar{A}$, qui contient tous les résultats possibles qui peuvent se produire mais ne sont pas dans A.

Définition

Les définitions de l’expérience aléatoire et de l’événement sont données dans le chapitre probabilité. Pour rappel : l’expérience aléatoire est par exemple le lancer d’un dé ; l’univers contient les résultats qui peuvent se produire, c.-à-d. pour le lancer d’un dé Ω= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ; et un événement est un sous-ensemble de Ω, par exemple « on obtient un nombre impair », c.-à-d. A = {1 ; 3 ; 5}.

Si nous avons l’événement A = « on obtient un nombre impair », c.-à-d. A = {1 ; 3 ; 5}, alors l’événement contraire est $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A$. Il s’agit donc de tous les autres résultats, c.-à-d. ceux qui sont dans Ω mais pas dans A. Dans notre cas, l’événement contraire de « on obtient un nombre impair » est « on obtient un nombre pair ». L’événement contraire de « on obtient 2 ou 5 » est « on obtient 1, 3, 4 ou 6 ».

Pour rester dans la terminologie des ensembles : si Ω= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et que l’on a l’événement A = {1 ; 2} (« on obtient un nombre inférieur à trois »), alors $\bar{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A=\{1;2;3;4;5;6\}\setminus \{1;2\}=\{3;4;5;6\}$. En mots, on pourrait le décrire ainsi : « on obtient un nombre supérieur à deux ».

Pour la probabilité de l’événement contraire, il existe une relation simple. Si la probabilité de l’événement A est de 25 %, quelle est la probabilité de $\bar{A}$ ? En somme, on se demande : quelle est la probabilité que l’événement A ne se réalise pas ? L’événement A se réalise avec une probabilité de 25 %, donc l’événement A ne se réalise pas avec une probabilité de 100 − 25 = 75 %. Cela est toujours vrai ; on peut donc dire que l’événement contraire $\bar{A}$ se réalise avec une probabilité de 1 − P(A) :

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Exercices corrigés

1. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir deux six en lançant deux dés ? Dans le chapitre sur la probabilité, nous avons calculé qu’il existe 36 possibilités différentes lors du lancer de deux dés. Il faudrait maintenant compter combien de ces possibilités ne contiennent pas deux six. Nous pouvons prendre le chemin inverse : on compte les paires contenant deux six, on calcule la probabilité de cet événement, puis on la retranche de 1.

   Il n’existe qu’une seule paire contenant deux six, (6 ; 6), donc la probabilité de cet événement A est :

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   La probabilité de l’événement contraire $\bar{A}$, c.-à-d. de « ne pas obtenir deux six », est alors :

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six en lançant trois dés ? On peut résoudre cet exercice directement en listant toutes les configurations contenant un six, deux six et trois six. Mais on peut aussi passer par l’événement contraire, c.-à-d. « aucun six ». Calculons d’abord le nombre total de possibilités. Il y a trois dés, et chacun peut donner les nombres de 1 à 6, soit 6³ = 216 possibilités au total.

   Il faut maintenant compter les possibilités sans aucun six. Sur chaque dé, il faut donc obtenir un nombre de 1 à 5 ; il existe ainsi 5³ = 125 possibilités ne contenant pas de 6. Il ne reste plus qu’à appliquer la formule :

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Cet événement était A, « aucun six ». Mais nous voulons connaître l’événement contraire : « au moins un six ». On applique donc la formule :

   $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Un élève tire au sort 3 questions parmi 30 questions proposées à l’examen de mathématiques. Parmi elles, 10 questions portent sur l’algèbre, 15 sur l’analyse et 5 sur la géométrie. Quelle est la probabilité qu’il tire au moins deux questions du même domaine ? Là encore, il est plus simple de passer par l’événement contraire : quelle est la probabilité que l’élève tire exactement une question de chaque domaine ?

   Calculons d’abord combien de trios différents l’élève peut tirer. Il nous faut pour cela des combinaisons. Il y a 30 questions au total et l’on en tire 3, sans tenir compte de l’ordre. On obtient le coefficient binomial :

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Combien de possibilités y a-t-il ensuite pour que l’élève tire exactement une question de chaque domaine ? En appliquant le principe multiplicatif, on trouve qu’il y en a 10 · 15 · 5 = 750. Enfin, appliquons la formule de calcul de la probabilité :

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Mais nous voulons connaître l’événement contraire ; il suffit donc de retrancher ce résultat de 1 :

   $$P(\bar{A})=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$