Vastatapahtuma

Vastatapahtumaa voi joskus hyödyntää, kun lasketaan jonkin tapahtuman todennäköisyyttä. Tapahtuman A vastatapahtuma on tapahtuma A^c, joka sisältää kaikki mahdolliset tulokset, jotka voivat toteutua mutta eivät kuulu tapahtumaan A.

Määritelmä

Satunnaiskokeen ja tapahtuman määritelmät on esitetty luvussa todennäköisyys. Lyhyt kertaus: satunnaiskoe on esimerkiksi nopan heitto, kaikkien mahdollisten tulosten joukko sisältää ne tulokset, jotka voivat toteutua, eli nopan heitossa se on joukko ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tapahtuma on joukon ω osajoukko ja se voi olla ”nopalla tuli pariton luku” eli A = {1, 3, 5}.

Jos meillä on tapahtuma A, pysytään tapahtumassa ”nopalla tuli pariton luku” eli A = {1, 3, 5}, vastatapahtumalla tarkoitamme tapahtumaa A^c = ω ∖ A. Ne ovat siis kaikki muut tulokset, jotka ovat joukossa ω mutta eivät joukossa A. Meidän tapauksessamme, jossa tapahtuma on ”nopalla tuli pariton luku”, vastatapahtuma olisi tapahtuma ”nopalla tuli parillinen luku”. Tapahtuman ”tulee luku 2 tai 5” vastatapahtuma on tapahtuma ”tulee luku 1, 3, 4 tai 6”.

Pysytäksemme joukko-opin sanastossa: jos ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ja meillä on tapahtuma A = {1, 2} (”tulee luku, joka on pienempi kuin kolme”), niin A^c = ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}. Sanoin sen voisi kuvata: ”tulee luku, joka on suurempi kuin kaksi”.

Vastatapahtuman todennäköisyydelle pätee yksinkertainen yhteys: jos tapahtuman A todennäköisyys on 25 %, mikä on tapahtuman A^c todennäköisyys? Periaatteessa kysymme – mikä on todennäköisyys, ettei tapahtuma A satu? Tapahtuma A sattuu todennäköisyydellä 25 %, joten tapahtuma A ei satu todennäköisyydellä 100 − 25 = 75 %. Tämä pätee aina, joten voimme sanoa, että vastatapahtuma A^c sattuu todennäköisyydellä 1 − P(A):

$$P(A^c)=1-P(A)$$

Ratkaistuja esimerkkejä

1. Mikä on todennäköisyys, että kahta noppaa heitettäessä ei tule kahta kuutosta? Luvussa todennäköisyys laskimme, että kahta noppaa heitettäessä voi tulla yhteensä 36 eri mahdollisuutta. Nyt pitäisi laskea, kuinka monessa näistä mahdollisuuksista ei ole kahta kuutosta. Voimme kulkea myös päinvastaista tietä: laskemme, kuinka monessa pareista on kaksi kuutosta, laskemme tämän tapahtuman todennäköisyyden ja vähennämme sen ykkösestä.

   Vain yksi pari sisältää kaksi kuutosta, (6, 6), joten tämän tapahtuman A todennäköisyys on:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   Vastatapahtuman A^c eli tapahtuman ”ei tule kahta kuutosta” todennäköisyys on sitten:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Mikä on todennäköisyys, että kolmea noppaa heitettäessä tulee ainakin yksi kuutonen? Tämänkin tehtävän voimme ratkaista suoraan ja luetella kaikki tulokset, joissa tuli yksi kuutonen, kaksi kuutosta ja kolme kuutosta. Voimme kuitenkin lähestyä asiaa toisesta suunnasta ja laskea vastatapahtuman eli tapahtuman ”ei tullut yhtään kuutosta”. Ensin laskemme, kuinka monta mahdollisuutta voi yhteensä tulla. Meillä on kolme noppaa, joista jokaisella voi tulla luvut 1–6, mikä antaa yhteensä 6³ = 216 mahdollisuutta.

   Nyt meidän on laskettava ne mahdollisuudet, joissa ei ole yhtään kuutosta. Jokaisella nopalla on siis tultava luku 1–5, joten mahdollisuuksia, joissa ei ole lukua 6, on yhteensä 5³ = 125. Nyt vain sijoitamme kaavaan:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Tämä oli tapahtuma A – ”ei tullut yhtään kuutosta”. Me haluamme tietää vastatapahtuman: ”tuli ainakin yksi kuutonen”. Sijoitamme siis kaavaan:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Opiskelija nostaa matematiikan kokeessa 3 kysymystä tarjolla olevista 30 kysymyksestä. Niistä 10 on algebrasta, 15 analyysista ja 5 geometriasta. Mikä on todennäköisyys, että hän nostaa ainakin kaksi kysymystä samalta alalta? Tämän tehtävän ratkaiseminen on taas helpompaa vastatapahtuman avulla, joka kuuluu: mikä on todennäköisyys, että opiskelija nostaa jokaiselta alalta täsmälleen yhden kysymyksen?

   Ensin laskemme, kuinka monta erilaista kolmikkoa opiskelija voi nostaa. Siihen tarvitsemme kombinaatioita. Kysymyksiä on yhteensä 30 ja niistä nostetaan 3, eikä järjestyksellä ole väliä. Tämä antaa binomikertoimen

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Lisäksi kuinka monta eri mahdollisuutta on, että opiskelija nostaa jokaiselta alalta täsmälleen yhden kysymyksen? Tuloperiaatteella saamme, että niitä on yhteensä 10 · 15 · 5 = 750. Lopuksi sijoitamme todennäköisyyden kaavaan:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Mutta me haluamme tietää vastatapahtuman, joten vähennämme tuloksen vain ykkösestä:

   $$P(A^c)=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$