Evento complementar

O evento complementar pode às vezes ser usado no cálculo da probabilidade de um evento. O evento complementar do evento A é o evento A^c, que contém todos os resultados possíveis que podem ocorrer, mas que não estão no evento A.

Definição

As definições de experimento aleatório e de evento estão no capítulo sobre probabilidade. Uma breve revisão: um experimento aleatório é, por exemplo, o lançamento de um dado; o conjunto de todos os resultados possíveis contém os resultados que podem ocorrer, isto é, no caso do lançamento de um dado, é o conjunto ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; um evento é um subconjunto de ω e pode ser “no dado saiu um número ímpar”, isto é, A = {1, 3, 5}.

Se temos o evento A, e ficamos com “no dado saiu um número ímpar”, isto é, A = {1, 3, 5}, então por evento complementar entendemos o evento A^c = ω ∖ A. São, portanto, todos os outros resultados: os que estão em ω, mas não estão em A. No nosso caso, em que temos o evento “no dado saiu um número ímpar”, o evento complementar seria o evento “no dado saiu um número par”. O evento complementar de “sai o número 2 ou 5” é o evento “sai o número 1, 3, 4 ou 6”.

Para nos mantermos na terminologia de conjuntos: se ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e temos o evento A = {1, 2} (“sai um número menor que três”), então A^c = ω ∖ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {1, 2} = {3, 4, 5, 6}. Em palavras, poderíamos descrever isso como “sai um número maior que dois”.

Para a probabilidade do evento complementar vale uma relação simples: se a probabilidade do evento A é 25%, qual é a probabilidade do evento A^c? Na prática perguntamos: qual é a probabilidade de o evento A não ocorrer? O evento A ocorre com probabilidade 25%, e assim o evento A não ocorre com probabilidade 100 − 25 = 75%. Isso vale sempre, então podemos dizer que o evento complementar A^c ocorre com probabilidade 1 − P(A):

$$P(A^c)=1-P(A)$$

Exercícios resolvidos

1. Qual é a probabilidade de, ao lançar dois dados, não saírem dois seis? No capítulo sobre probabilidade calculamos que existem 36 possibilidades diferentes que podem sair no lançamento de dois dados. Agora deveríamos calcular quantas dessas possibilidades não contêm dois seis. Podemos seguir o caminho oposto: calculamos quantos pares contêm dois seis, calculamos a probabilidade desse evento e a subtraímos de um.

   Há apenas um par que contém dois seis, (6, 6), então a probabilidade desse evento A é:

   $$P(A)=\frac{1}{36}$$

   A probabilidade do evento complementar A^c, isto é, do evento “não saem dois seis”, é, então:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}=\mathrm{97,222}2\dots \mathrm{\%}$$

2. Qual é a probabilidade de, ao lançar três dados, sair pelo menos um seis? Podemos resolver esse exercício diretamente, listando todos os arranjos em que saiu um seis, dois seis e três seis. Mas podemos abordá-lo de outro jeito e calcular o evento complementar, isto é, o evento “não saiu nenhum seis”. Primeiro calculamos quantas possibilidades existem ao todo. Temos três dados, em cada um podem sair os números de 1 a 6, o que dá 6³ = 216 possibilidades.

   Agora precisamos calcular as possibilidades em que não há nenhum seis. Em cada dado precisa sair um número de 1 a 5, então existem 5³ = 125 possibilidades que não contêm o número 6. Agora só substituímos na fórmula:

   $$P(A)=\frac{125}{216}=57,87\mathrm{\%}$$

   Esse era o evento A — “não saiu nenhum seis”. Nós queremos o evento complementar: “saiu pelo menos um seis”. Substituímos, então, na fórmula:

   $$P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}=\mathrm{42,129}6\mathrm{\%}$$

3. Em uma prova oral de matemática, um aluno sorteia 3 perguntas de 30 oferecidas. Dessas, 10 são de álgebra, 15 de funções e 5 de geometria. Qual é a probabilidade de ele sortear pelo menos duas perguntas da mesma área? Novamente será mais fácil resolver o exercício usando o evento complementar, que diz: qual é a probabilidade de o aluno sortear exatamente uma pergunta de cada área?

   Primeiro calculamos quantas ternas diferentes o aluno pode sortear. Para isso vamos precisar de combinações. Temos 30 perguntas e sorteamos 3, sem que a ordem importe. Isso nos dá o número binomial

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3})=4060$$

   Em seguida, de quantas maneiras o aluno pode sortear exatamente uma pergunta de cada área? Pelo princípio multiplicativo, descobrimos que são 10 · 15 · 5 = 750 ao todo. Por fim, substituímos na fórmula do cálculo da probabilidade:

   $$P(A)=\frac{750}{4060}=18,47\mathrm{\%}$$

   Mas queremos o evento complementar, então basta subtrair o resultado de um:

   $$P(A^c)=1-\frac{750}{4060}=\frac{3310}{4060}=81,53\mathrm{\%}$$