空間の直線の方程式

これまでの記事では、平面上の直線を式で表す方法を扱いました。この記事では、空間の直線を式で表す方法を見ていきます。

空間の直線の媒介変数表示

平面上の直線の媒介変数表示では、直線 p が通る点 A と方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ があれば、この直線 p 上のどの点 X も次のように表せることを説明しました。

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

数 t を媒介変数といいます。この式から、おなじみの次の連立方程式が得られます。

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

図を見てみましょう。

点 A に方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ の t 倍を足すと、点 B が得られます。直線上のほかの点も、すべて同じようにして得られます。

この考え方は、空間で考える場合にもそのまま使えます。空間でも、直線 p は、その直線が通る点 A と方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ で決まり、この直線上のどの点 X についても次の式が成り立ちます。

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

まったく同じ式が得られました。違うのは、空間で考えているので、点 X と A の座標が2つではなく3つになり、方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ の成分も3つになることだけです。そのため、この式からは2つではなく3つの方程式からなる連立方程式が得られます。

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

ここで x, y, z は直線上のどこかにある点 X(x, y, z) の座標、$\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ は方向ベクトル、A(a₁, a₂, a₃) はこの直線が通る空間の点です。