Ecuația dreptei în spațiu

Articolele precedente s-au ocupat de exprimarea analitică a dreptei în plan. În acest articol vom arăta cum exprimăm analitic o dreaptă în spațiu.

Ecuațiile parametrice ale dreptei în spațiu

La ecuațiile parametrice ale dreptei în plan am explicat că, dacă avem un punct A prin care trece dreapta p și un vector director $\overrightarrow{u}$, atunci orice punct X al acestei drepte p îl putem exprima ca

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Numărul t se numește parametru. Ecuația precedentă duce la binecunoscutul sistem de ecuații

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Ne putem uita la figură:

Dacă la punctul A adunăm un multiplu $t\cdot \overrightarrow{u}$ al vectorului director, obținem punctul B. Și tot așa pentru fiecare punct al dreptei.

Această idee poate fi folosită și atunci când ne mișcăm în spațiu. Și în spațiu putem determina dreapta p printr-un punct A prin care trece și prin vectorul ei director $\overrightarrow{u}$, iar apoi pentru fiecare punct X al acestei drepte avem

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Vedem că obținem exact aceeași ecuație. Cu diferența că ne mișcăm în spațiu, deci punctele X și A vor avea trei coordonate, nu două, iar vectorul director $\overrightarrow{u}$ va avea trei componente. Ecuația va duce atunci la un sistem de trei ecuații, în loc de două:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

unde x, y, z sunt coordonatele punctului X(x, y, z), care se află undeva pe dreaptă, $\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$ este vectorul director, iar A(a₁, a₂, a₃) este un punct din spațiu prin care trece această dreaptă.