直線の方程式の一般形

直線の方程式の一般形は、直線の媒介変数表示から媒介変数 t を消去すると得られます。

考え方

1次関数を覚えているでしょうか。1次関数のグラフはちょうど直線になります。1次関数の基本の形は y = ax + b です。2点 A(0, 3), B(2, 7) を通る直線 p を見てみましょう。

点 A と B を通る直線

グラフがちょうどこの直線 p になる1次関数を求めます。この1次関数は y = ax + b の形です。直線が点 A(0, 3) を通るということは、x₁ = 0 のときの関数の値が y₁ = 3 だということです。したがって、方程式 a · 0 + b = 3 が成り立たなければなりません。直線は点 B(2, 7) も通るので、x₂ = 2 のときの関数の値は y₂ = 7 で、方程式 a · 2 + b = 7 も同時に成り立たなければなりません。求めたいのは係数 a, b です。次の連立方程式ができます。

$\begin{array}{rcl} a \cdot 0 + b & = & 3 \\ a \cdot 2 + b & = & 7 \end{array}$

1つ目の方程式 a · 0 + b = 3 から、係数 b は簡単に求まり、b = 3 です。この結果を2つ目の方程式に代入します。つまり、方程式 a · 2 + b = 7 の b に3を代入します。

$\begin{array}{rcl} a \cdot 2 + b & = & 7 \\ a \cdot 2 + 3 & = & 7 \\ a \cdot 2 & = & 4 \\ a & = & 2 \end{array}$

これで2つの係数 a = 2, b = 3 が求まりました。この直線を表す関数は y = 2x + 3 です。x に x = 1 を代入すると y = 2 + 3 = 5 となり、直線のグラフと一致します。y = 2x + 3 は、右辺が0になるように書きかえることもできます。つまり、両辺に −(2x + 3) を足します。すると次の方程式が得られます。

$y - 2 x - 3 = 0$

この方程式を直線の方程式の一般形といいます。

直線の方程式の一般形の定義

前の方法は少し面倒なうえ、直線が y 軸に平行な場合、つまり x 軸に垂直な直線の場合には使えません。そのような直線はどんな関数のグラフにもならないからです。そこで、直線の方程式の一般形を別の方法で定めます。次の形のどんな1次方程式も

$a x + b y + c = 0,$

平面上の直線の方程式であると定めます。ここで a,b,c ∈ ℝ で、a,b ≠ 0 の少なくとも一方が成り立つ（a と b の少なくとも一方は0でない）とします。逆に、平面上のどんな直線もこの形で表せます。この方程式を直線の方程式の一般形といいます。一般形は直線の媒介変数表示から簡単に求められます。直線が次の媒介変数表示で表されているとき、

$\begin{array}{rcl} x & = & a_{1} + t \cdot u_{1} \\ y & = & a_{2} + t \cdot u_{2}, \end{array}$

一般形は、媒介変数表示から媒介変数 t を消去すれば求まります。例として、前と同じ2点 A(0, 3), B(2, 7) で決まる直線を考えます。有向線分 $\vec{A B}$ から方向ベクトル $\vec{u}$ を求めます。

$\vec{u} = (u_{1}, u_{2}) = B - A = (2, 7) - (0, 3) = (2, 4)$

方向ベクトル $\vec{u}$ と直線 p をもう一度見てみましょう。

方向ベクトル u⃗ と直線 p

点 A とベクトル $\vec{u}$ を使って媒介変数表示を書きます。

$\begin{array}{rcl} x & = & 0 + t \cdot 2 \\ y & = & 3 + t \cdot 4 \end{array}$

一般形を得るには、媒介変数 t が消えるようにこの2つの方程式を足す必要があります。そこでまず、1つ目の方程式の両辺に −2 をかけ、2つ目の方程式はそのままにします。

$\begin{array}{rcl} - 2 x & = & 0 - t \cdot 4 \\ y & = & 3 + t \cdot 4 \end{array}$

ここで2つの方程式を足すと、1つの方程式になります。

$\begin{array}{rcl} y - 2 x & = & 3 + t \cdot 4 - t \cdot 4 \\ y - 2 x & = & 3 \\ y - 2 x - 3 & = & 0 \end{array}$

これが直線 p の方程式の一般形です。前の方法とまったく同じ方程式が得られました。

一般形は何の役に立つのか

一般形は、直線をつくるすべての点を表しています。一般形 ax + by + c = 0 の未知数 x,y に、方程式が成り立つような実数を代入すれば、点 (x, y) はこの直線上の点です。一般形 y − 2x − 3 = 0 で表される前の直線に戻りましょう。x,y に x = 1, y = 5 を代入すると、次のようになります。

$\begin{array}{rcl} 5 - 2 \cdot 1 - 3 & = & 0 \\ 5 - 2 - 3 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

つまり、点 (1, 5) は直線上にあります。x = 2, y = 3 を代入してみると、次のようになります。

$\begin{array}{rcl} 3 - 2 \cdot 2 - 3 & =^{?} & 0 \\ 3 - 4 - 3 & =^{?} & 0 \\ - 4 & \neq & 0 \end{array}$

方程式は成り立たないので、点 (2, 3) は直線 p 上にありません。図でも確かめられます。

調べた点を青で示しています

x 軸に垂直な直線

すでに触れたように、x 軸に垂直な直線 p はどんな関数のグラフにもならないので、最初の節の方法では一般形を求められません。しかし、そのような直線にも一般形があり、前の節の方法で求められます。

2点 A(4, 2), B(4, 8) を通る直線で見てみましょう。方向ベクトル $\vec{u}$ は次のとおりです。

$\vec{u} = (u_{1}, u_{2}) = B - A = (4, 8) - (4, 2) = (0, 6)$

図は次のとおりです。

直線 p と方向ベクトル

点 A と方向ベクトル $\vec{u}$ を使った媒介変数表示は、次のようになります。

$\begin{array}{rcl} x & = & 4 + t \cdot 0 \\ y & = & 2 + t \cdot 6 \end{array}$

ここで媒介変数 t を消去するところですが、1つ目の方程式のおかげで手間が省けます。1つ目の方程式には媒介変数 t がない（正確には係数がいつも0）ので、この方程式をそのまま直線 p の一般形として使えます。したがって、直線 p の一般形は次のとおりです。

$x - 4 = 0$

つまり、方程式 ax + by + c = 0 の係数 a,b,c は a = 1, b = 0, c = −4 です。

x 軸に平行な直線

もう1つ、2点 A(2, 1), B(5, 1) を通る x 軸に平行な直線の例を見てみましょう。方向ベクトル $\vec{u}$ は次のようになります。

$\vec{u} = (u_{1}, u_{2}) = B - A = (5, 1) - (2, 1) = (3, 0)$

図は次のとおりです。

直線 p とその方向ベクトル u⃗

点 A を使った直線の媒介変数表示は、次のようになります。

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 + t \cdot 3 \\ y & = & 1 + t \cdot 0 \end{array}$

2つ目の方程式では媒介変数 t の係数が0なので、ここでも t を消去する必要はありません。2つ目の方程式をそのまま直線 p の一般形として使えます。

$y - 1 = 0$

章: 直線の媒介変数表示, 直線の方程式の一般形, 直線の法線ベクトル, 傾きと切片を使った直線の方程式, 空間の直線の方程式

« 前へ: 直線の方程式

次へ: 直線の法線ベクトル »