Equações da reta no espaço

Os artigos anteriores trataram da expressão analítica da reta no plano. Neste artigo vamos mostrar como expressar analiticamente uma reta no espaço.

Equações paramétricas da reta no espaço

Nas equações paramétricas da reta no plano, explicamos que, se temos um ponto A pelo qual passa a reta p e um vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, então todo ponto X dessa reta p pode ser escrito como

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Chamamos o número t de parâmetro. A equação anterior leva ao conhecido sistema de equações

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Podemos olhar a figura:

Se somamos ao ponto A algum múltiplo t do vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtemos o ponto B. E assim para cada ponto da reta.

Essa ideia também pode ser usada quando estamos no espaço. No espaço também poderíamos determinar a reta p por um ponto A pelo qual essa reta passa e pelo seu vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, e então, para cada ponto X dessa reta, valeria que

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Vemos que obtemos exatamente a mesma equação. A única diferença é que estamos no espaço, e por isso os pontos X e A terão três coordenadas, não duas, e o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ também terá três componentes. A equação levará, então, a um sistema de três equações, em vez de duas:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

em que x, y, z são as coordenadas do ponto X(x, y, z), que está em algum lugar da reta, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ é o vetor diretor e A(a₁, a₂, a₃) é um ponto do espaço pelo qual essa reta passa.