Linjens parameterfremstilling i rummet

De foregående artikler handlede om det analytiske udtryk for en linje i planen. I denne artikel viser vi, hvordan vi udtrykker en linje analytisk i rummet.

Parameterfremstilling for en linje i rummet

Ved parameterfremstillingen for en linje i planen forklarede vi, at hvis vi har et punkt A, som linjen p går gennem, og en retningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, så kan hvert punkt X på linjen p udtrykkes som

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Tallet t kalder vi parameteren. Den foregående ligning fører til det velkendte ligningssystem

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Vi kan se på figuren:

Hvis vi lægger t gange retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ til punktet A, får vi punktet B. Og sådan for hvert punkt på linjen.

Denne tanke kan også bruges, når vi bevæger os i rummet. Også i rummet kunne vi bestemme linjen p ved punktet A, som linjen går gennem, og dens retningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, og så ville der for hvert punkt X på denne linje gælde, at

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Vi ser, at vi får nøjagtig den samme ligning. Bare med den forskel, at vi bevæger os i rummet, så punkterne X og A har tre koordinater, ikke to, og på samme måde har retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tre komponenter. Ligningen fører så til et system af tre ligninger i stedet for to:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

hvor x, y, z er koordinaterne til punktet X(x, y, z), som ligger et sted på linjen, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ er retningsvektoren, og A(a₁, a₂, a₃) er et punkt i rummet, som denne linje går gennem.