Equazioni della retta nello spazio

Gli articoli precedenti trattavano l’espressione analitica della retta nel piano. In questo articolo vediamo come esprimere analiticamente una retta nello spazio.

Equazioni parametriche della retta nello spazio

Parlando delle equazioni parametriche della retta nel piano abbiamo spiegato che, se abbiamo un punto A per cui passa la retta p e un vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, ogni punto X di questa retta p si può esprimere come

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Il numero t si chiama parametro. L’equazione precedente porta al noto sistema di equazioni

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Possiamo guardare la figura:

Se al punto A sommiamo un multiplo t del vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, otteniamo il punto B. E così per ogni punto della retta.

Questa idea si può usare anche quando ci muoviamo nello spazio. Anche nello spazio potremmo determinare la retta p con un punto A per cui passa e con il suo vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, e allora per ogni punto X di questa retta varrebbe che

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Vediamo che otteniamo esattamente la stessa equazione. Con la differenza che ci muoviamo nello spazio, quindi i punti X e A avranno tre coordinate, non due, e allo stesso modo il vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ avrà tre componenti. L’equazione porterà allora a un sistema di tre equazioni, invece di due:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

dove x, y, z sono le coordinate del punto X(x; y; z), che si trova da qualche parte sulla retta, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1;u_2;u_3)$ è il vettore direttore e A(a₁; a₂; a₃) è un punto dello spazio per cui passa questa retta.