Уравнение на права в пространството

Предишните статии се занимаваха с аналитичното изразяване на права в равнината. В тази статия ще покажем как да изразим права аналитично в пространството.

Параметрично уравнение на права в пространството

При параметричното уравнение на права в равнината обяснихме, че ако имаме точка A, през която минава правата p, и насочващ вектор $\overrightarrow{u}$, то всяка точка X от тази права p можем да изразим като

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Числото t наричаме параметър. Предишното уравнение води до познатата система уравнения

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Можем да погледнем чертежа:

Ако към точката A прибавим някакво t-кратно на насочващия вектор $\overrightarrow{u}$, бихме получили точката B. И така за всяка точка на правата.

Тази идея е приложима и когато работим в пространството. И в пространството бихме могли да зададем правата p с точката A, през която минава, и с насочващия ѝ вектор $\overrightarrow{u}$ и тогава за всяка точка X от тази права би било изпълнено, че

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Виждаме, че получаваме съвсем същото уравнение. Само че сега сме в пространството, така че точките X и A ще имат три координати, а не две, и също така насочващият вектор $\overrightarrow{u}$ ще има три координати. Уравнението ще доведе до система от три уравнения вместо две:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

където x, y, z са координатите на точката X(x; y; z), която се намира някъде на правата, $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ е насочващият вектор, а A(a₁; a₂; a₃) е точка в пространството, през която минава тази права.