Ecuación de la recta en el espacio

Los artículos anteriores trataban de la expresión analítica de la recta en el plano. En este artículo veremos cómo expresar analíticamente una recta en el espacio.

Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio

En las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano explicamos que, si tenemos un punto A por el que pasa la recta p y un vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, todo punto X de esta recta p se puede expresar como

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Al número t lo llamamos parámetro. La ecuación anterior lleva al conocido sistema de ecuaciones

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Podemos mirar la figura:

Si al punto A le sumamos el producto de t por el vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtendremos el punto B. Y así para cada punto de la recta.

Esta idea es aplicable también cuando nos movemos en el espacio. También en el espacio podríamos determinar la recta p mediante un punto A por el que pasa y su vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, y entonces para cada punto X de esta recta se cumpliría que

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Vemos que obtenemos exactamente la misma ecuación. La única diferencia es que nos movemos en el espacio, de modo que los puntos X y A tendrán tres coordenadas, no dos, y el vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ también tendrá tres componentes. La ecuación llevará entonces a un sistema de tres ecuaciones, en lugar de dos:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

donde x, y, z son las coordenadas del punto X(x, y, z), que se encuentra en algún lugar de la recta, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ es el vector director y A(a₁, a₂, a₃) es un punto del espacio por el que pasa esta recta.