Geradengleichung im Raum

Die vorigen Artikel haben sich mit der analytischen Beschreibung einer Geraden in der Ebene beschäftigt. In diesem Artikel zeigen wir, wie man eine Gerade im Raum analytisch beschreibt.

Parameterform der Geraden im Raum

Bei der Parameterform der Geraden in der Ebene haben wir erklärt: Haben wir einen Punkt A, durch den die Gerade p verläuft, und einen Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, dann können wir jeden Punkt X dieser Geraden p ausdrücken als

$$X=A+\lambda \cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},\lambda \in \mathbb{R}.$$

Die Zahl λ nennen wir Parameter. Die vorige Gleichung führt zum bekannten Gleichungssystem

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+\lambda \cdot u_1\\ y& =& a_2+\lambda \cdot u_2\end{array}$$

Wir können uns die Abbildung ansehen:

Addieren wir zum Punkt A ein λ-Faches des Richtungsvektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, erhalten wir den Punkt B. Und so geht es für jeden Punkt der Geraden.

Dieser Gedanke ist auch anwendbar, wenn wir uns im Raum bewegen. Auch im Raum könnten wir die Gerade p durch einen Punkt A, durch den sie verläuft, und ihren Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ festlegen, und dann würde für jeden Punkt X dieser Geraden gelten:

$$X=A+\lambda \cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},\lambda \in \mathbb{R}.$$

Wir sehen, dass wir genau dieselbe Gleichung erhalten. Nur mit dem Unterschied, dass wir uns im Raum bewegen, die Punkte X und A also drei Koordinaten haben, nicht zwei, und ebenso hat der Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ drei Komponenten. Die Gleichung führt dann statt zu zwei Gleichungen zu einem System aus drei Gleichungen:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+\lambda \cdot u_1,\\ y& =& a_2+\lambda \cdot u_2,\\ z& =& a_3+\lambda \cdot u_3,\end{array}$$

wobei x, y, z die Koordinaten des Punktes X(x ∣ y ∣ z) sind, der irgendwo auf der Geraden liegt, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ der Richtungsvektor ist und A(a₁ ∣ a₂ ∣ a₃) ein Punkt im Raum ist, durch den diese Gerade verläuft.