Likningen for en linje i rommet

De forrige artiklene handlet om hvordan vi uttrykker en linje i planet med koordinater. I denne artikkelen viser vi hvordan vi uttrykker en linje i rommet.

Parameterframstilling for en linje i rommet

Da vi gikk gjennom parameterframstillingen for en linje i planet, forklarte vi at hvis vi har et punkt A som linjen p går gjennom, og en retningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, kan vi uttrykke hvert punkt X på linjen p som

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Tallet t kaller vi parameteren. Den forrige likningen fører til det kjente likningssettet

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Vi kan se på figuren:

Hvis vi legger t ganger retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ til punktet A, kan vi få punktet B. Og slik er det for hvert punkt på linjen.

Denne tanken kan vi bruke også når vi beveger oss i rommet. Også i rommet kan vi bestemme linjen p ved punktet A som linjen går gjennom, og retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, og da gjelder for hvert punkt X på linjen at

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Vi ser at vi får nøyaktig den samme likningen. Forskjellen er bare at vi er i rommet, så punktene X og A har tre koordinater, ikke to, og retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har også tre komponenter. Likningen fører da til et likningssett med tre likninger i stedet for to:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

der x, y, z er koordinatene til punktet X(x, y, z) som ligger et sted på linjen, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2,u_3]$ er retningsvektoren og A(a₁, a₂, a₃) er et punkt i rommet som linjen går gjennom.