Suoran yhtälö avaruudessa

Edelliset artikkelit käsittelivät suoran analyyttistä esitystä tasossa. Tässä artikkelissa näytämme, miten suora esitetään analyyttisesti avaruudessa.

Suoran parametriesitys avaruudessa

Suoran parametriesityksen yhteydessä tasossa selitimme, että jos meillä on piste A, jonka kautta suora p kulkee, ja suuntavektori $\overline{u}$, jokainen tämän suoran p piste X voidaan esittää muodossa

$$X=A+t\cdot \overline{u},t\in \mathbb{R}.$$

Lukua t sanotaan parametriksi. Edellinen yhtälö johtaa tuttuun yhtälöryhmään

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Voimme katsoa kuvaa:

Jos pisteeseen A lisätään suuntavektorin $\overline{u}$ jokin t-kertainen, saataisiin piste B. Ja näin jokaiselle suoran pisteelle.

Tämä ajatus on käyttökelpoinen myös silloin, kun liikumme avaruudessa. Myös avaruudessa suoran p voisi määrätä pisteellä A, jonka kautta tämä suora kulkee, ja sen suuntavektorilla $\overline{u}$, ja tällöin jokaiselle tämän suoran pisteelle X pätisi, että

$$X=A+t\cdot \overline{u},t\in \mathbb{R}.$$

Näemme, että saamme täsmälleen saman yhtälön. Ainoa ero on, että liikumme avaruudessa, joten pisteillä X ja A on kolme koordinaattia, ei kaksi, ja samoin suuntavektorilla $\overline{u}$ on kolme komponenttia. Yhtälö johtaa silloin kahden yhtälön sijaan kolmen yhtälön ryhmään:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

missä x, y, z ovat jossain suoralla olevan pisteen X = (x, y, z) koordinaatit, $\overline{u}=(u_1,u_2,u_3)$ on suuntavektori ja A = (a₁, a₂, a₃) on avaruuden piste, jonka kautta tämä suora kulkee.