Εξίσωση ευθείας στον χώρο

Τα προηγούμενα άρθρα ασχολούνταν με την αναλυτική έκφραση της ευθείας στο επίπεδο. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε πώς εκφράζουμε αναλυτικά μια ευθεία στον χώρο.

Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας στον χώρο

Στις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας στο επίπεδο εξηγήσαμε ότι αν έχουμε ένα σημείο A, από το οποίο διέρχεται η ευθεία p, και ένα παράλληλο διάνυσμα $\overrightarrow{u}$, τότε κάθε σημείο X αυτής της ευθείας p μπορούμε να το εκφράσουμε ως

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Τον αριθμό t τον λέμε παράμετρο. Η προηγούμενη εξίσωση οδηγεί στο γνωστό σύστημα εξισώσεων

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Μπορούμε να δούμε το σχήμα:

Αν στο σημείο A προσθέσουμε ένα t-πλάσιο του παράλληλου διανύσματος $\overrightarrow{u}$, θα πάρουμε το σημείο B. Και έτσι για κάθε σημείο της ευθείας.

Αυτή η ιδέα εφαρμόζεται και όταν κινούμαστε στον χώρο. Και στον χώρο μπορούμε να προσδιορίσουμε την ευθεία p με ένα σημείο A, από το οποίο διέρχεται, και το παράλληλο διάνυσμά της $\overrightarrow{u}$, και τότε για κάθε σημείο X αυτής της ευθείας θα ισχύει

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Βλέπουμε ότι παίρνουμε ακριβώς την ίδια εξίσωση. Με τη διαφορά ότι κινούμαστε στον χώρο, οπότε τα σημεία X και A θα έχουν τρεις συντεταγμένες και όχι δύο, και το παράλληλο διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ θα έχει τρεις συνιστώσες. Η εξίσωση οδηγεί τότε σε σύστημα τριών εξισώσεων αντί για δύο:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

όπου x, y, z είναι οι συντεταγμένες του σημείου X(x, y, z), που βρίσκεται κάπου πάνω στην ευθεία, $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ είναι το παράλληλο διάνυσμα και A(a₁, a₂, a₃) είναι ένα σημείο του χώρου από το οποίο διέρχεται αυτή η ευθεία.