Az egyenes egyenlete a térben

Az előző cikkek az egyenes síkbeli analitikus megadásával foglalkoztak. Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan adhatjuk meg analitikusan az egyenest a térben.

Az egyenes paraméteres egyenlete a térben

Az egyenes síkbeli paraméteres egyenleténél megmagyaráztuk, hogy ha adott az A pont, amelyen a p egyenes átmegy, és az $\overrightarrow{u}$ irányvektor, akkor ennek a p egyenesnek minden X pontját felírhatjuk így:

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

A t számot paraméternek nevezzük. Az előző egyenlet a jól ismert egyenletrendszerhez vezet:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Nézzük meg az ábrát:

Ha az A ponthoz hozzáadjuk az $\overrightarrow{u}$ irányvektor valamilyen t-szeresét, megkapjuk a B pontot. És így kapjuk meg az egyenes minden pontját.

Ez a gondolat akkor is használható, ha a térben mozgunk. A térben is megadhatjuk a p egyenest egy A ponttal, amelyen az egyenes átmegy, és $\overrightarrow{u}$ irányvektorával, és ekkor az egyenes minden X pontjára igaz lesz, hogy

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Látjuk, hogy pontosan ugyanazt az egyenletet kapjuk. Csak azzal a különbséggel, hogy a térben mozgunk, ezért az X és az A pontnak három koordinátája van, nem kettő, és az $\overrightarrow{u}$ irányvektornak is három koordinátája lesz. Az egyenlet így két helyett három egyenletből álló rendszerhez vezet:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

ahol x, y, z az egyenes valamely X(x; y; z) pontjának koordinátái, $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ az irányvektor, és A(a₁; a₂; a₃) egy pont a térben, amelyen az egyenes átmegy.