傾きと切片を使った直線の方程式

傾きと切片を使った直線の方程式は、直線が x 軸となす角の大きさをもとにした表し方です。

考え方

一般形 ax + by + c = 0 で表される直線 p があるとします。1次関数のグラフは直線になるのでした。そして、1次関数はふつう y = f(x) の形で書きます。そこで、直線の方程式の一般形 ax + by + c = 0 をこの形に直したくなります。そのためには、方程式を y について解く、つまり両辺を b で割る必要があるので、b ≠ 0 でなければなりません。b ≠ 0 なら、一般形は次のように変形できます。

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/÷b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/y\text{ について解く}\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

これでふつうの1次関数の形になりました。この形はかなり複雑なので、次のようにおきかえます。

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ n& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

すると、前の方程式は次の形に書けます。

$$y=mx+n$$

別の形になったわけではありません。見にくい分数 $-\frac{c}{b}$ の代わりに n と書いただけです。mx + n の形はふつうの1次関数を表すので、この形の直線は y 軸に平行にはなりません。このような直線は、b ≠ 0 とした時点ですでに除かれています。

b = 0 なら、直線は y 軸に平行で、その一般形は ax + c = 0 の形になります。この方程式の両辺を a で割って変形すると、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/÷a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

分数 $-\frac{c}{a}$ もまた見にくいので、$k=-\frac{c}{a}$ とおきかえます。こうして最終的に次の方程式が得られます。

$$x=k$$

まとめると、y 軸に平行でない直線はどれも y = mx + n（m, n ∈ ℝ）の形で書け、y 軸に平行な直線はどれも x = k（k ∈ ℝ）の形で書けます。

y = mx + n の形の方程式は傾きと切片で直線を表したもので、係数 m を直線の傾き、n を y 切片といいます。

例題

2点 A(2, 8), B(8, 10) を通る直線があります。この直線の方程式を y = mx + n の形で求めなさい。この形は直線の方程式の一般形から求めるのがいちばんよいので、まず一般形をつくります。一般形は ax + by + c = 0 の形で、(a, b) は法線ベクトルなので、法線ベクトルを求めます。方向ベクトルの成分は (8, 10) − (2, 8) = (6, 2) なので、法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ の成分は (−2, 6) です。したがって、一般形に a = −2, b = 6 を代入できます。

$$-2x+6y+c=0$$

(x, y) には、直線が通ることがわかっている点の座標を代入します。たとえば点 B(8, 10) です。つまり、方程式に x = 8, y = 10 を代入します。

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

一般形は次のようになります。

$$-2x+6y-44=0$$

この方程式の両辺を −2 で割ると、少しきれいな形になります。

$$x-3y+22=0$$

y = mx + n の形にするには、y について解きます。ほかの項をすべて右辺に移項し、両辺を3で割ります。

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

最後の行が、傾きと切片で表した直線の方程式です。係数 m, n を書き出すと、$m=\frac{1}{3},n=\frac{22}{3}$ です。方向ベクトル $\overrightarrow{u}$ と法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ をかき込んだ直線のグラフも見てみましょう。

係数 n がたまたま $\frac{22}{3}$ のような扱いにくい値でなければ、係数 n が直線と y 軸の交点の y 座標を表していることがひと目でわかったはずです。y 軸との交点の x 座標は x = 0 です。これを方程式 $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$ に代入すると $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$、つまり x = 0 のとき y の値は $y=\frac{22}{3}$ です。

直線の傾き

直線の方程式が y = mx + n の形のとき、数 m を直線の傾きといいます。直線の傾きは、直線が x 軸の正の部分となす角と関係があります。次の図を見てください。

図には、傾き m はそれぞれ違いますが、係数 n = 2 はどれも同じ4本の直線がかかれています。どの直線も y = mx + 2 の形です。傾き、つまり x の係数がなめらかに変わると、直線が x 軸の正の部分となす角も変わることに注目しましょう。たとえば、紫の直線 $y=\frac{1}{2}x+2$ は x 軸の正の部分と角 δ をなし、赤い直線 y = x + 2 は角 γ、緑の直線 y = 2x + 2 は角 β をなします。

この場合、傾きが大きいほど、直線が x 軸の正の部分となす角も大きくなります。紫の直線 $y=\frac{1}{2}x+2$ の傾きは $m_1=\frac{1}{2}$、緑の直線 y = 2x + 2 の傾きは m₂ = 2 なので、m₁ < m₂ です。同時に δ < β も成り立ちます。しかし、たとえば青い直線 y = −2x + 2 の傾きは m₃ = −2 で、これまでのどの傾きよりも小さいのに、角 α はすべての角の中でいちばん大きくなっています。

傾き m と角の間には何らかの関係がありそうです。もっと詳しく調べてみましょう。紫の直線 $y=\frac{1}{2}x+2$ だけを表示し、角 δ に注目します。直線上に異なる2点 A, B を選び、図のように直角三角形 ABC をつくります。角 δ と角 ϵ は同位角なので、大きさが等しくなります。

ここで、角 ϵ を線分 AC と BC を使って表してみます。そのためには、これらの線分の長さが必要です。点 A と B の座標を A = (x₁, y₁) = (2, 3)、B = (x₂, y₂) = (6, 5) とします。線分 AC の長さは差 |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4 になります。点 B の x 座標（点 C の x 座標と等しい）から点 A の x 座標を引くと、線分 AC の長さが得られます。線分 BC についても、y 座標を使って同じようにします。|BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2 です。

次に、三角比、具体的にはタンジェントを使います。直角三角形 ABC では、角 ϵ について $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$ が成り立ちます。角 ϵ のタンジェントは、対辺と隣辺の比です。線分にその長さを代入すると、次のようになります。

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

角 δ と等しい角 ϵ のタンジェントは $\frac{1}{2}$ になりました。つまり、直線が x 軸の正の部分となす角のタンジェントは $\frac{1}{2}$ です。そして、この直線の方程式は $y=\frac{1}{2}x+2$ です。したがって、直線が x 軸の正の部分となす角のタンジェントは、この直線の傾きと等しいのです！これは偶然ではなく、一般に成り立ちます。

方程式が y = mx + n の直線 p について、傾き m は、直線 p が x 軸の正の部分となす角のタンジェントに等しくなります。