Linjens ekvation i rummet

I de föregående artiklarna handlade det om att uttrycka en linje i planet analytiskt. I den här artikeln visar vi hur du uttrycker en linje i rummet.

Parameterframställning av en linje i rummet

När vi gick igenom parameterframställningen av en linje i planet förklarade vi att om vi har en punkt A som linjen p går genom och en riktningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, så kan varje punkt X på linjen p skrivas som

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Talet t kallas parameter. Ekvationen ovan leder till det välbekanta ekvationssystemet

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Vi kan titta på figuren:

Om vi till punkten A lägger t gånger riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ får vi punkten B. Så fungerar det för varje punkt på linjen.

Den här tanken fungerar också när vi rör oss i rummet. Även i rummet kan vi bestämma linjen p med en punkt A som linjen går genom och en riktningsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, och då gäller för varje punkt X på linjen att

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Vi ser att vi får precis samma ekvation. Skillnaden är bara att vi rör oss i rummet, så punkterna X och A har tre koordinater i stället för två, och riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har på samma sätt tre komponenter. Ekvationen leder då till ett system av tre ekvationer i stället för två:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

där x, y, z är koordinaterna för punkten X(x, y, z) som ligger någonstans på linjen, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ är riktningsvektorn och A(a₁, a₂, a₃) är en punkt i rummet som linjen går genom.