直線の法線ベクトル

直線 p の法線ベクトルとは、直線 p に垂直なベクトルのことで、その成分は直線の方程式の一般形から得られます。

考え方

2点 A(0, 1), B(2, 5) を通る直線 p があるとします。この直線は関数 y = 2x + 1 のグラフなので、直線の方程式の一般形は −2x + y − 1 = 0 です。図は次のとおりです。

一般形は ax + by + c = 0 の形なので、この例の方程式 −2x + y − 1 = 0 では a = −2, b = 1, c = −1 です。係数 a, b には図形的にどんな意味があるのでしょうか。試しに、ベクトル $\overrightarrow{u}=(a,b)$、つまりベクトル $\overrightarrow{u}=(-2,1)$ を図にかき込んでみましょう。

このベクトルが直線 p に垂直であることは、かなりはっきりわかります。これは偶然ではありません。どんな一般形 ax + by + c = 0 をとっても、ベクトル (a, b) はその直線に垂直になります。このようなベクトルを直線 p の法線ベクトルといいます。

法線ベクトルの性質

ベクトルの内積の性質から、2つのベクトルの内積が0になるのは、2つのベクトルが垂直であるとき、またそのときに限ります。直線 p の方向ベクトルは直線 p に平行なので、直線 p のどの方向ベクトルも法線ベクトルに垂直です。有向線分 $\overrightarrow{AB}$ から方向ベクトルを求めると、次のベクトルが得られます。

$$\overrightarrow{v}=B-A=(2,5)-(0,1)=(2,4)$$

図にかくと次のようになります。

思い出しておくと、2つのベクトルの内積は次のように定義されていました。

$$(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2,$$

この定義を使って少し計算してみると、実数 a, b について、ベクトル (a, b) と (−b, a) の内積も、ベクトル (a, b) と (b, −a) の内積も、いつも0になることがわかります。

$$\begin{array}{rcl}(a,b)\cdot (-b,a)& =& a\cdot (-b)+b\cdot a=0\\ (a,b)\cdot (b,-a)& =& a\cdot b-b\cdot a=0\end{array}$$

では、一般形 ax + by + c = 0 で表される直線 p と、この直線に垂直な法線ベクトル (a, b) に戻りましょう。ここで気づくことがあります。前の性質から、ベクトル (−b, a) と (b, −a) は法線ベクトルとの内積が0なので、法線ベクトルに垂直なはずです。そして法線ベクトルは直線に垂直なので、法線ベクトルに垂直なベクトルは、逆に元の直線 p に平行になるはずです。うまくできていますね！

図にベクトル ${\overrightarrow{v}}_1=(-b,a)$ と ${\overrightarrow{v}}_2=(b,-a)$ をかき込んでみましょう。直線の一般形は −2x + y − 1 = 0 なので、代入すると緑のベクトル ${\overrightarrow{v}}_1=(-1,-2)$ と ${\overrightarrow{v}}_2=(1,2)$ になります。

法線ベクトルと点から直線の方程式の一般形を求める

直線の方程式の一般形は、媒介変数表示から簡単に求められることがわかりました。法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ がわかっているときも、一般形は簡単に求められます。直線 p が点 A(5, 13) を通り、法線ベクトルが $\overrightarrow{n}=(4,-6)$ だとしましょう。直線 p の一般形は ax + by + c = 0 で、法線ベクトルの定義から、係数 a, b はすぐに決まります。法線ベクトルの成分と同じで、a = 4, b = −6 です。直線の一般形は次の形になります。

$$4x-6y+c=0$$

残るのは係数 c の計算です。直線 p を表すこの方程式は、直線 p 上のすべての点で成り立たなければなりません。つまり、x, y に直線 p 上の点の座標を代入すれば、方程式は成り立つはずです。そこで、直線 p が確かに通る点 A を代入すれば十分です。点 A の座標は A(5, 13) なので、方程式 4x − 6y + c = 0 に x = 5, y = 13 を代入します。

$$\begin{array}{rcl}4\cdot 5-6\cdot 13+c& =& 0\\ 20-78+c& =& 0\\ c& =& 78-20\\ c& =& 58\end{array}$$

したがって、直線 p の一般形は次のとおりです。

$$4x-6y+58=0.$$

直線 p の方向ベクトルの例として、${\overrightarrow{u}}_1=(6,4)$ と ${\overrightarrow{u}}_2=(-6,-4)$ があります。