Uzayda Doğru Denklemi

Önceki yazılar düzlemdeki bir doğrunun analitik ifadesini ele aldı. Bu yazıda uzaydaki bir doğruyu analitik olarak nasıl ifade edeceğimizi göstereceğiz.

Uzayda Doğrunun Parametrik İfadesi

Düzlemde doğrunun parametrik ifadesini anlatırken şunu görmüştük: p doğrusunun geçtiği bir A noktası ve bir $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörü verilmişse, bu p doğrusunun her X noktasını

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

biçiminde yazabiliriz. t sayısına parametre denir. Yukarıdaki denklem bildiğimiz denklem sistemine götürür:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Şekle bakabiliriz:

A noktasına $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ yön vektörünün bir t katını eklersek B noktasını elde ederiz. Doğrunun her noktası için aynı şey geçerlidir.

Bu düşünce uzayda hareket ettiğimizde de kullanılabilir. Uzayda da p doğrusunu, geçtiği A noktası ve yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ile belirleyebiliriz; bu doğrunun her X noktası için yine

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

olur. Görüyoruz ki tamamen aynı denklemi elde ediyoruz. Tek fark, uzayda hareket ettiğimiz için X ve A noktalarının iki değil üç koordinatı olması, yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{u}}$’nun da üç bileşenli olmasıdır. Denklem de iki yerine üç denklemli bir sisteme götürür:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

burada x, y, z, doğru üzerinde bir yerde bulunan X(x, y, z) noktasının koordinatları, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2,u_3)$ yön vektörü ve A(a₁, a₂, a₃) de doğrunun geçtiği uzaydaki bir noktadır.