Équation de la droite dans l’espace

Les articles précédents traitaient de l’expression analytique d’une droite dans le plan. Dans cet article, nous allons voir comment exprimer analytiquement une droite dans l’espace.

Représentation paramétrique de la droite dans l’espace

Pour la représentation paramétrique de la droite dans le plan, nous avons expliqué que, si l’on dispose d’un point A par lequel passe la droite p et d’un vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, alors tout point X de cette droite p peut s’écrire ainsi :

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

Le nombre t est appelé paramètre. L’égalité précédente conduit au système d’équations bien connu :

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

Regardons la figure :

Si l’on ajoute au point A t fois le vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, on obtient le point B. Et il en va de même pour chaque point de la droite.

Cette idée reste valable dans l’espace. Dans l’espace aussi, on peut déterminer la droite p par le point A par lequel elle passe et par son vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ; alors, pour tout point X de cette droite, on a :

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}},t\in \mathbb{R}.$$

On voit qu’on obtient exactement la même équation. La seule différence est que l’on se place dans l’espace : les points X et A ont alors trois coordonnées et non deux, et de même le vecteur directeur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a trois composantes. L’équation conduit alors à un système de trois équations, et non de deux :

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

où x, y, z sont les coordonnées du point X(x ; y ; z) situé quelque part sur la droite, $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ est le vecteur directeur et A(a₁ ; a₂ ; a₃) est un point de l’espace par lequel passe cette droite.