Vergelijking van een lijn in de ruimte

De vorige artikelen gingen over de beschrijving van een lijn in het vlak met vergelijkingen. In dit artikel laten we zien hoe je een lijn in de ruimte met vergelijkingen beschrijft.

Parametervoorstelling van een lijn in de ruimte

Bij de parametervoorstelling van een lijn in het vlak hebben we uitgelegd dat als we een punt A hebben waar lijn p door gaat, en een richtingsvector $\overrightarrow{u}$, dan elk punt X van deze lijn p geschreven kan worden als

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

Het getal t noemen we de parameter. De vorige vergelijking leidt tot het bekende stelsel vergelijkingen

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1\\ y& =& a_2+t\cdot u_2\end{array}$$

We kunnen naar de tekening kijken:

Als we bij punt A een t-voud van de richtingsvector $\overrightarrow{u}$ optellen, krijgen we punt B. En zo voor elk punt van de lijn.

Deze gedachte is ook bruikbaar als we ons in de ruimte bewegen. Ook in de ruimte kunnen we lijn p vastleggen met een punt A waar deze lijn door gaat en haar richtingsvector $\overrightarrow{u}$, en dan geldt voor elk punt X van deze lijn dat

$$X=A+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}.$$

We zien dat we precies dezelfde vergelijking krijgen. Alleen met dat verschil dat we ons in de ruimte bewegen, dus de punten X en A hebben drie coördinaten, niet twee, en ook de richtingsvector $\overrightarrow{u}$ heeft drie componenten. De vergelijking leidt dan tot een stelsel van drie vergelijkingen in plaats van twee:

$$\begin{array}{rcl}x& =& a_1+t\cdot u_1,\\ y& =& a_2+t\cdot u_2,\\ z& =& a_3+t\cdot u_3,\end{array}$$

waarbij x, y, z de coördinaten zijn van het punt X(x, y, z) dat ergens op de lijn ligt, $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$ de richtingsvector is en A(a₁, a₂, a₃) een punt in de ruimte is waar deze lijn door gaat.