数列の規則を見つける問題の解き方

数列の規則を見つける問題は、適性検査やIQテストなど、さまざまな論理テストに出てきます。いくつかの数が並んでいて、その後に続くはずの数を答える問題です。この記事では、こうした問題の解き方を見ていきます。

問題の形

この種の問題は、ふつう次のような形をしています。

$$2,4,6,8,10,?$$

「?」に入れたとき、いちばん筋が通る数を見つけます。そのためには、並んでいる数に共通する規則を見つけて、それを使って足りない数を計算します。この例の答えは 12 です。どの数も、1つ前の数より 2 大きくなっているからです。

答えはいつも1つに決まるとは限りません。きちんと理由を説明できるなら、「?」にはどんな数を入れてもよいといえます。

足し算とかけ算

いちばん簡単なのは、決まった数を足していくだけの数列です。例を挙げます。

$$3,10,17,24,?$$

ここではいつも 7 を足しているので、「?」に入るのは 31 です。次の例です。

$$-8,-5,-2,1,?$$

いつも 3 を足しているので、次の数は 4 です。次の例です。

$$17,8,-1,-10,?$$

この数列では −9 を足して、つまり 9 を引いています。次の数は −19 です。次の例です。

$$2,4,8,16,?$$

今度は足し算ではなく、かけ算です。どの数も1つ前の数の2倍なので、答えは 32 です。次の例です。

$$27,9,3,1,?$$

この数列では逆に、3で割っています。答えは $\frac{1}{3}$ です。足す数が一定でなくてもかまいません。

$$2,4,7,9,12,?$$

+2 と +3 を交互に足しています。つまり、2 に +2 を足すと 4、さらに +3 を足すと 7 になり、以下同じように続きます。12 に 2 を足すと 14 です。次の例です。

$$5,6,8,11,15,20,?$$

この数列では、+1 から始めて、足す数を1つずつ大きくしています。つまり、5 + 1 = 6、6 + 2 = 8、8 + 3 = 11 のように続きます。最後は 6 を足すので、答えは 20 + 6 = 26 です。次の例です。

$$1,2,6,12,36,72,?$$

2をかけることと3をかけることを交互にくり返しています。1 · 2 = 2、2 · 3 = 6、6 · 2 = 12 のように続きます。最後は3をかけるので、答えは 216 です。

規則の組み合わせ

数列や計算はさらに組み合わせられます。例えば、足し算とかけ算を交互に使うこともできます。

$$3,12,14,56,58,232,?$$

ここでは、まず4をかけ、次に2を足しています。つまり、3 · 4 = 12、12 + 2 = 14、14 · 4 = 56 のように続きます。最後は2を足すので、答えは 234 です。似た例を見てみましょう。

$$3,9,5,15,11,33,29,?$$

まず3をかけ、次に4を引いています。つまり、3 · 3 = 9、9 − 4 = 5、5 · 3 = 15 のように続きます。最後は3をかけるので、答えは 87 です。

1つの数列の中に、それぞれ別の規則をもつ2つの数列が入っていることもあります。例を挙げます。

$$2,1,4,6,8,11,16,16,32,?$$

奇数番目には、おなじみの数列 2, 4, 8, 16, 32 が並んでいます。どの数も1つ前の数の2倍です。偶数番目には、数列 1, 6, 11, 16, ? が並んでいます。こちらは5を足していくだけの数列です。したがって、答えは 16 + 5 = 21 です。もう1つ例を見てみましょう。

$$2,7,3,11,5,15,8,19,12,?$$

この数列には、2つの数列が入っています。奇数番目は 2, 3, 5, 8, 12 で、足す数を1つずつ大きくしていく数列です。偶数番目は 7, 11, 15, 19, ? で、4を足していくだけです。答えは 23 です。

よく出る数列

知っておくと役に立つ、よく出る数列があります。

• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … — 自然数の2乗の数列です。1², 2², 3², 4², 5², … と書くこともできます。問題の中にこれらの数、特に大きいほうの数が出てきたら、2乗が関係している可能性がかなりあります。

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — これは有名なフィボナッチ数列です。どの数も、その前の2つの数の和になっています。後ろから見ると、21 = 8 + 13、13 = 5 + 8、8 = 3 + 5 のようになっています。最初の2つの数、0と1だけは初めから決めておきます。

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … — 素数の数列です。1は素数ではないことに注意しましょう。

• 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, … — 階乗の数列です。n 番目の数は、積 1 · 2 · 3 · … · n です。例えば、4番目の数は 24 で、これは 1 · 2 · 3 · 4 = 24 です。

そのほかのタイプ

例を挙げます。

$$17,3,6,14,-3,23,19,?$$

1番目と2番目の数を足すと、17 + 3 = 20 のように20になります。その後の2つずつの組も同じで、6 + 14 = 20、−3 + 23 = 20、19+? = 20 となります。したがって、「?」に入るのは1です。次の例です。

$$?,7,12,4,5,9,6,-1,5$$

この数列では、数を3つずつの組 a, b, c に分けると、a + b = c が成り立っています。つまり、?+7 = 12、4 + 5 = 9 です。したがって、「?」に入るのは 5 です。次の例です。

$$2,4,10,28,?$$

ここでは、かけ算と引き算の2つの計算を組み合わせています。1つ前の数に3をかけて、さらに2を引くと次の数になります。つまり、4 = 2 · 3 − 2、10 = 4 · 3 − 2、28 = 10 · 3 − 2 です。次の数は 28 · 3 − 2 = 82 です。